{"id":1788,"date":"2020-09-17T04:38:38","date_gmt":"2020-09-17T02:38:38","guid":{"rendered":"http:\/\/mathe-lernen.net\/?p=1788"},"modified":"2023-04-04T17:53:17","modified_gmt":"2023-04-04T15:53:17","slug":"gleichungen","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathe-lernen.net\/?p=1788","title":{"rendered":"Gleichungen"},"content":{"rendered":"\n

Begriff: „Gleichung“<\/p>\n\n\n\n

Zwei Terme, die durch ein Gleichheitszeichen verbunden sind, nennt man Gleichung. <\/strong>Diese k\u00f6nnen eine oder mehrere Variablen enthalten. Werte f\u00fcr die Variablen, die die Gleichung in eine wahre Aussage \u00fcberf\u00fchren, nennt man L\u00f6sung der Gleichung<\/strong>. Die L\u00f6sungen werden als L\u00f6sungsmenge L={L\u00f6sung} angegeben. Gleichungen k\u00f6nnen mehrere L\u00f6sungen haben.<\/p>\n\n\n\n

Arten von Gleichungen:<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Gleichungen werden nach der h\u00f6chsten Potenz ihrer Variablen unterschieden. <\/strong>So hei\u00dfen Gleichungen „linear“, wenn als h\u00f6chste Potenz das x enthalten ist. Gleichungen hei\u00dfen quadratisch, wenn sie x\u00b2 als h\u00f6chste Potenz enthalten, „kubisch“ nennt man sie mit x\u00b3. <\/p>\n\n\n\n

3x<\/strong> <\/span>+ 4 = 4(x<\/span> – 9) eine lineare<\/span> Gleichung mit der h\u00f6chsten Potenz x als Variable – auch Gleichung 1. Grades genannt<\/span><\/p>\n\n\n\n

3x\u00b2<\/span> <\/strong>+ 7x – 1 = 4 eine quadratische <\/span>Gleichung – auch Gleichung 2. Grades genannt<\/span><\/p>\n\n\n\n

5x\u00b3<\/span><\/strong> + 125 = x\u00b2 – 7 eine kubische<\/span> Gleichung – auch Gleichung 3. Grades genannt<\/span><\/p>\n\n\n\n

Allgemein gilt also: <\/p>\n\n\n\n

Eine Gleichung, die \\( x^n \\) als h\u00f6chste Potenz ihrer Variablen enth\u00e4lt, nennt man Gleichung „n-ten Grades<\/strong>„.<\/p>\n\n\n\n

L\u00f6sung einer Gleichung:<\/p>\n\n\n\n

Gleichungen zu l\u00f6sen<\/strong> bedeutet, den Wert f\u00fcr die Variablen zu finden, bei dem die beiden Terme links und rechts des Gleichheitszeichens den gleichen Termwert besitzen.<\/p>\n\n\n\n

Methode 1: Probieren!<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Durch spontanes oder systematisches Einsetzen von Werten f\u00fcr die Variable<\/strong>, ist es m\u00f6glich auf die L\u00f6sung der Gleichung zu sto\u00dfen. Ein sehr zeitaufwendiges Verfahren, das nur f\u00fcr einfache Gleichungen zu empfehlen ist.<\/p>\n\n\n\n

Beispiel: <\/p>\n\n\n\n

2x + 1 = 7<\/p>\n\n\n\n

Einsetzen von x =1<\/td>2 * (1) + 1 = 3<\/td>3 \\( \\neq \\) 7<\/td>x= 1 ist nicht L\u00f6sung!<\/td><\/tr>
Einsetzen von x= 2<\/span><\/td>2 * (2<\/span>) + 1 = 5<\/td>5 \\( \\neq \\) 7<\/td>x= 2<\/span> ist nicht L\u00f6sung!<\/td><\/tr>
Einsetzen von x= 3<\/span> <\/td>2 * (3<\/span>) + 1 = 7<\/td>7 = 7<\/td>x= 3<\/span> ist L\u00f6sung!<\/td><\/tr>
<\/td><\/td><\/td><\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n

Methode 2:<\/strong> Isolieren der Variable<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Umstellen der Gleichung in die Form „x=“<\/strong> durch<\/strong> die Anwendung der \u00c4quivalenzumformungen<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n

Anmerkung! Hier werden nur lineare Gleichungen gel\u00f6st!<\/p>\n\n\n\n

\u00c4quivalenzumformungen sind:<\/p>\n\n\n\n

  • Addieren oder Subtrahieren von Zahlen oder Termen auf beiden Seiten der Gleichung<\/li>
  • Multiplizieren oder Dividieren von\/mit Zahlen oder Termen auf beiden Seiten der Gleichung<\/li>
  • Quadrieren\/potenzieren oder radizieren von beiden Seiten der Gleichung<\/li>
  • Seiten vertauschen (beispielsweise, wenn mehr x „hinten“ stehen… 4x… = 9x… )<\/li><\/ul>\n\n\n\n

    Beispiel1: <\/p>\n\n\n\n

    2x + 1 = 7<\/strong><\/p>\n\n\n\n

    2x+1 <\/td>=<\/td>7<\/td>|-1<\/td>Subtrahiere auf beiden Seiten 1<\/td><\/tr>
    2x+1 -1<\/span> <\/td>=<\/td>7 – 1<\/span> <\/td><\/td>Vereinfache!<\/td><\/tr>
    2x <\/td>=<\/td>6<\/td>|: 2<\/td>Teile beide Seiten durch 2<\/td><\/tr>
    \\( \\frac{2x}{2} \\)<\/td>=<\/td>\\( \\frac{6}{2} \\)<\/td><\/td>Vereinfache!<\/td><\/tr>
    x<\/td>=<\/td>3<\/td><\/td>3 ist L\u00f6sung!<\/td><\/tr>
    L={3}<\/td><\/td><\/td><\/td><\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n

    Beispiel 2:<\/p>\n\n\n\n

    4x – 3 = 9x + 22<\/strong><\/p>\n\n\n\n

    <\/p>\n\n\n\n

    4x – 3 <\/td>=<\/td>9x + 22<\/td>|-1<\/td>Addiere auf beiden Seiten 3<\/td><\/tr>
    4x – 3 +3<\/span> <\/td>=<\/td>9x + 22 +3<\/span> <\/td><\/td>Vereinfache!<\/td><\/tr>
    4x <\/td>=<\/td>9x + 25<\/td>|: -9x<\/td>Subtrahiere 9x auf beiden Seiten<\/td><\/tr>
    4x – 9x <\/span><\/td>=<\/td>9x + 25 – 9x<\/span><\/td><\/td>Vereinfache!<\/td><\/tr>
    -5x<\/td>=<\/td>25<\/td>|:(-5)<\/td>Teile beide Seiten durch (-5)<\/td><\/tr>
    \\( \\frac{-5x}{-5} \\)<\/td>=<\/td>\\( \\frac{25}{-5} \\)<\/td><\/td><\/td><\/tr>
    x<\/td>=<\/td>-5<\/td><\/td>-5 ist L\u00f6sung! Negative L\u00f6sung!<\/td><\/tr>
    L={-5}<\/td><\/td><\/td><\/td><\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n

    Hier sieht man, wieder wie der 1. Befehl daf\u00fcr sorgt, dass die -3 „verschwindet“, genau so passiert es mit dem 9x. Durch diese Schrittfolge erreicht man es, dass die Termteile mit der Variable „links stehen“ und die Konstanten (einfache Zahlen) auf der rechten Seite erscheinen.<\/p>\n\n\n\n

    Strategie f\u00fcr das L\u00f6sen von linearen Gleichungen:<\/p>\n\n\n\n

    1. Fasse die Terme beider Seiten so weit wie m\u00f6glich zusammen!<\/li>
    2. Addiere oder subtrahiere geschickt so, dass die „Termteile mit Variable<\/strong><\/span>“ (4x , – 7x …) auf der linken Seite<\/strong><\/span> stehen!<\/li>
    3. Addiere oder subtrahiere geschickt so, dass die Konstanten<\/strong><\/span> <\/span>( Zahlen: 14 , – 9 oder 3,7) auf der rechten Seite<\/strong><\/span> stehen!<\/li>
    4. Nun sollte die Gleichung die Form 12x<\/strong><\/span> = 27<\/strong><\/span> haben.<\/li>
    5. Dividiere<\/em><\/strong> beide Seiten durch die<\/em><\/strong> Zahl vor der Variable<\/em><\/strong>! ( 12x<\/strong><\/span> = 27<\/strong><\/span> | :12 )<\/li>
    6. Notiere die L\u00f6sung! (x=…)<\/li><\/ol>\n\n\n\n

      Hier ein paar Beispiele zum Vertiefen! <\/strong>
      Achtung! Herr Mathe im Video ist manchmal etwas schnell und inkonsequent…<\/p>\n\n\n\n

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