{"id":5110,"date":"2023-02-16T12:10:43","date_gmt":"2023-02-16T11:10:43","guid":{"rendered":"https:\/\/mathe-lernen.net\/?p=5110"},"modified":"2023-02-18T09:53:12","modified_gmt":"2023-02-18T08:53:12","slug":"die-exponentialfunktion","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathe-lernen.net\/?p=5110","title":{"rendered":"Die Exponentialfunktion"},"content":{"rendered":"\n

Das Koli-Bakterium (Escherichia coli<\/em>)<\/strong><\/p>\n\n\n\n

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Quelle: wikipedia.org, public domain<\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n\n\n

Bakterien vermehren sich durch Spaltung(Mitose<\/a>) . Dies geschieht in gleichen Zeitabst\u00e4nden. Die Zeit zur Verdopplung der Bakterienpopulation nennt man Generationszeit.<\/strong> Die Generationszeit<\/a> der Kolibakterien<\/a> (sh. Abbildung) im Darmtrakt von Warmbl\u00fctern also auch in unserem Darm betr\u00e4gt beispielsweise 20min. Unser Stuhl enth\u00e4lt bis zu \\( 10^9 \\) (1 Mrd.) dieser Keime pro Gramm. Gelangen diese Keime jedoch in die Blase, kann das zu Erkrankungen durch Entz\u00fcndungen f\u00fchren. Eine fahrl\u00e4ssige Aufnahme kann also negative Folgen haben. Wasser sollte man daher aus kontrollierten Best\u00e4nden trinken oder abkochen, denn das t\u00f6tet die Keime.<\/p>\n\n\n\n

Badegew\u00e4sser von „guter Qualit\u00e4t“ d\u00fcrfen bis zu 1000 koloniebildende Einheiten(CFU)<\/a> pro 100ml Wasser enthalten.<\/p>\n\n\n\n

Beachte: Eine Verdopplung dieser Keime findet alle 20 Minuten statt!<\/strong><\/p>\n\n\n\n

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Nehmen wir eine Probe und untersuchen den Anstieg der Keimzahl.<\/p>\n\n\n\n

Zeit
(in Minuten)<\/strong><\/td>		0<\/td>20<\/td>40<\/td>60<\/td>80<\/td>100<\/td>120<\/td><\/tr>
Keimzahl<\/strong><\/td>1.000.000<\/td>2.000.000<\/td>4.000.000<\/td>8.000.000<\/td>16.000.000<\/td>32.000.000<\/td>64.000.000<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n

Die Keimzahl hat sich nach einer Stunde verachtfacht. Nach 2 Stunden jedoch hat sie sich bereits auf das 64-fache vergr\u00f6\u00dfert! Nach 3 Stunden(9 Verdopplungen also ) ist die Probe dann auf das 512-fache oder \\( (2^9 -fache) \\) angestiegen! <\/p>\n\n\n\n

Aufgabe: <\/strong>Stelle die Daten in einem Koordinatensystem dar, um den graphischen Verlauf zu sehen. (L\u00f6sungsbild<\/a>)<\/p>\n\n\n\n

W\u00e4chst eine Gr\u00f6\u00dfe in gleichen Zeitabschnitten immer um den gleichen Faktor, so spricht man von exponentiellem Wachstum.<\/strong>
(Verkleinert sich eine Gr\u00f6\u00dfe in gleichen Zeitabst\u00e4nden derart , so spricht man von exponentiellem Zerfall.)<\/p>\n\n\n\n

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Zeit
(in Minuten)<\/strong><\/td>		0<\/td>20<\/td>40<\/td>60<\/td>80<\/td>100<\/td>120<\/td><\/tr>
Keimzahl<\/strong><\/td>1.000.000<\/td>2.000.000<\/td>4.000.000<\/td>8.000.000<\/td>16.000.000<\/td>32.000.000<\/td>64.000.000<\/td><\/tr>
Wachstum a<\/td> —\u25ba*2
a=2<\/td>		—\u25ba*2
a=2 <\/td>		 —\u25ba*2
a=2 <\/td>		 —\u25ba*2
a=2 <\/td>		— \u25ba*2
a=2 <\/td>		 —\u25ba*2
a=2 <\/td>		—\u25ba*2
a=2 <\/td><\/tr>
<\/td>n=0
\\( K_0 \\)<\/td>		n=1
\\( K_1 \\) <\/td>		n=2
\\( K_2 \\) <\/td>		n=3
\\( K_3 \\) <\/td>		n=4
\\( K_4 \\) <\/td>		n=5
\\( K_5 \\) <\/td>		n=6
\\( K_6 \\) <\/td><\/tr><\/tbody><\/table>
Die Keimzahl w\u00e4chst hier im 20min Zyklus auf das Doppelte(200%) an!<\/span><\/strong><\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n
\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n\n

<\/p>\n\n\n\n

\n\n\n\n

Ebenso wie das Wachstum von Zellkulturen verhalten sich auch andere Naturph\u00e4nomene:<\/strong><\/p>\n\n\n\n

  • der radioaktive Zerfall<\/li>
  • der Luftdruckverlauf in der Atmosph\u00e4re<\/li>
  • die Erw\u00e4rmung oder Abk\u00fchlung von K\u00f6rpern<\/li>
  • Ladungskurven elektrischer Kondensatoren<\/li>
  • Entleeren eines Wasserbeh\u00e4lters (Auslass unten)<\/li>
  • katalytischer Abbau von Stoffen bei chemischen Reaktionen<\/li><\/ul>\n\n\n\n
    \n\n\n\n

    Die Wasserhyazinthen – erst gewollt, nun gehasst<\/strong><\/p>\n\n\n\n

    Als Zierpflanze zur Versch\u00f6nerung der Gartenteiche gelangte die wild wuchernde Pflanze in die ganze Welt. Die eigentlich nur in S\u00fcdamerika wachsende Wasserpflanze hatte seit dem 18. Jahrhundert auch in Afrika eine neue Heimat gefunden. Ohne Fressfeinde vermehrt sich die Schwimmpflanze massenhaft und wuchert s\u00e4mtliche Binnengew\u00e4sser in Afrika zu. Eine Wasserhyazinthen-Decke verdoppelt ihre Fl\u00e4che in nur zwei Wochen.<\/strong> Durch den Lichtmangel unter den Pflanzenteppichen sterben die beheimateten Wasserpflanzen ab und auch die Fische sterben als Folge. Au\u00dferdem behindern die dicken Schwimmpflanzenteppiche die Schifffahrt und Fischerei. Die Folgen f\u00fcr das \u00d6kosystem sind verheerend. Doch nach jahrelangen Bek\u00e4mpfungsversuchen, gibt es nun Abhilfe – durch gefr\u00e4\u00dfige Insekten. <\/p>\n\n\n\n

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