{"id":932,"date":"2020-05-08T11:23:48","date_gmt":"2020-05-08T09:23:48","guid":{"rendered":"http:\/\/mathe-lernen.net\/?p=932"},"modified":"2023-02-24T09:28:07","modified_gmt":"2023-02-24T08:28:07","slug":"die-sinusfunktion-ya-sin-bx","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathe-lernen.net\/?p=932","title":{"rendered":"Die Sinusfunktion y=a sin (bx)"},"content":{"rendered":"\n<p class=\"has-white-color has-primary-background-color has-text-color has-background has-normal-font-size\">Die Funktion <strong> y =  a *sin (x)<\/strong> <\/p>\n\n\n\n<p><strong>Der Faktor a <\/strong>bewirkt eine Vervielfachung der Funktionswerte, wie wir sie schon von anderen Funktionen her kennen. <br>Sein Effekt auf den Graphen nennt man<strong> Streckung f\u00fcr a&gt;1 <\/strong> und  <strong>Stauchung f\u00fcr 0&lt;a&lt; 1<\/strong>. <br>Funktionswerte verkleinern \/ vergr\u00f6\u00dfern sich, das Maximum\/ Minimum liegt  dann bei a und -a  und nicht mehr bei 1 und -1.<br><strong>Die &#8222;Lage der Nullstellen&#8220; und die &#8222;L\u00e4nge der kleinsten Periode&#8220; beeinflusst der Koeffizient a nicht.<\/strong><br>Nutzt man negative Werte f\u00fcr a, kommt es zur Spiegelung  des Graphen an der x-Achse(Abszisse).<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-background\" style=\"background-color:#eed7ff\">Die Amplitude &#8211; die Ausschlagh\u00f6he &#8211;  der Funktion wird hier beeinflusst.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-background\" style=\"background-color:#fff9c1\">Probiere hier aus, wie der Koeffizient <strong>a<\/strong> auf den Graphen wirkt!<\/p>\n\n\n\n<iframe loading=\"lazy\" scrolling=\"no\" title=\"Die Funktion   y = a sin x   (Vorfaktor)\" src=\"https:\/\/www.geogebra.org\/material\/iframe\/id\/RDUfnwWq\/width\/992\/height\/510\/border\/888888\/sfsb\/true\/smb\/false\/stb\/false\/stbh\/false\/ai\/false\/asb\/false\/sri\/true\/rc\/false\/ld\/false\/sdz\/true\/ctl\/false\" width=\"992px\" height=\"510px\" style=\"border:0px;\" allowfullscreen=\"\"> <\/iframe>\n\n\n\n<p>Quelle: Christian Bauer , geogebra.org<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-black-background-color has-text-color has-background\" style=\"color:#f7ff00\"><a rel=\"noreferrer noopener\" href=\"https:\/\/www.desmos.com\/calculator\/b3hvlypxhz\" target=\"_blank\">\u25ba zur <strong>Desmos.com<\/strong>  Anwendung.<\/a><\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-white-color has-primary-background-color has-text-color has-background has-normal-font-size\">Die Funktion  <strong>y =  sin (bx) <\/strong><\/p>\n\n\n\n<p> <strong>Der Faktor b<\/strong> f\u00fchrt bei  bei der Funktion zur<strong> Ver\u00e4nderung der kleinsten Periode<\/strong>. <br>Normalerweise betr\u00e4gt sie bei  y=sin(x)  genau  2<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"15\" height=\"15\" class=\"wp-image-908\" style=\"width: 15px;\" src=\"https:\/\/mathe-lernen.net\/wp-content\/uploads\/2020\/05\/pi-1.png\" alt=\"pi\"> .<br>Der Faktor b ver\u00e4ndert diese L\u00e4nge auf der x-Achse, auf der sich der Graph periodisch wiederholt.<\/p>\n\n\n\n<p>Die Periodenl\u00e4nge errechnet sich aus:<\/p>\n\n\n\n<p>$$\\frac {2* \\pi}{b} $$<\/p>\n\n\n\n<p>Das Intervall von Null bis zum Wert der kleinsten Periode sollte dann zur Zeichnung geviertelt werden, um <br>Maxima, Minimum und Nullstellen zu errechnen.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-background\" style=\"background-color:#fff8bb\">Untersuche den  Einfluss von <strong>b <\/strong>auf den Graphen von y = sin (<strong>b<\/strong>*x)<\/p>\n\n\n\n<iframe loading=\"lazy\" scrolling=\"no\" title=\"Die Funktion   y = sin (bx)   (Faktor im Argument)\" src=\"https:\/\/www.geogebra.org\/material\/iframe\/id\/v89WA5vv\/width\/992\/height\/510\/border\/888888\/sfsb\/true\/smb\/false\/stb\/false\/stbh\/false\/ai\/false\/asb\/false\/sri\/true\/rc\/false\/ld\/false\/sdz\/true\/ctl\/false\" width=\"992px\" height=\"510px\" style=\"border:0px;\" allowfullscreen=\"\"> <\/iframe>\n\n\n\n<p>Quelle: Christian Bauer, geogebra.org<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-black-background-color has-text-color has-background\" style=\"color:#fffb00\">\u25ba<strong><a rel=\"noreferrer noopener\" href=\"https:\/\/www.desmos.com\/calculator\/rf5csm9zvn\" target=\"_blank\">zur Desmos.com Anwendung<\/a><\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-white-color has-text-color has-background\" style=\"background-color:#db3189\"><strong>Beide Faktoren in der Funktion y=f(x) = \\( a \\cdot sin(b \\cdot x \\)<\/strong> )<\/p>\n\n\n\n<iframe loading=\"lazy\" scrolling=\"no\" title=\"\" src=\"https:\/\/www.geogebra.org\/material\/iframe\/id\/J4BC4q7j\/width\/822\/height\/512\/border\/888888\/sfsb\/true\/smb\/false\/stb\/false\/stbh\/false\/ai\/false\/asb\/false\/sri\/false\/rc\/false\/ld\/false\/sdz\/false\/ctl\/false\" width=\"822px\" height=\"512px\" style=\"border:0px;\" allowfullscrren=\"\"> <\/iframe>\n\n\n\n<p class=\"has-dark-gray-background-color has-text-color has-background\" style=\"color:#87dbff\">Zeichnen von Funktionen dieser Form:<\/p>\n\n\n\n<ol class=\"wp-block-list\"><li>\\( Notiere^{(1)} \\) mit Hilfe von Faktor a die Werte    \\( y_{max}  und   y_{min} \\) <\/li><li>Berechne die Periodenl\u00e4nge mit p = \\( \\frac{2 \\pi}{b} \\)<\/li><li>Teile den Wert p  durch 4 (Abschnitte der einzelnen Quadranten \\( p_1 , p_2, p_3 und  p_4 \\) )<\/li><li>Jeder Quadrant enth\u00e4lt am Anfang und Ende einen typischen Fixpunkt ( \\( x_0 , y_{min} oder  y_{max} \\) )<ul><li>Abschnitt \\( p_1  \\) Nullstelle bis \\( y_{max} , \\) harmonisch zeichnen <\/li><li>Abschnitt \\( p_2  \\)  \\( y_{max} , \\)  bis Nullstelle harmonisch zeichnen <\/li><li>Abschnitt \\( p_3 ,  \\) Nullstelle bis \\( y_{min} , \\) harmonisch zeichnen <\/li><li>Abschnitt \\( p_4  \\)  \\( y_{min} , \\)  bis Nullstelle harmonisch zeichnen <\/li><\/ul><\/li><\/ol>\n\n\n\n<p>(1) Sollte a&lt;0 sein,  so tauschen  <span style=\"font-size: revert;\"> \\( y_{max} , \\)<\/span>  und  <span style=\"font-size: revert;\"> \\( y_{min} , \\) die Funktion<\/span><\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-large is-resized\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mathe-lernen.net\/wp-content\/uploads\/2023\/02\/4quadranten_sinus_graph-1-1024x459.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-5196\" width=\"567\" height=\"254\" srcset=\"https:\/\/mathe-lernen.net\/wp-content\/uploads\/2023\/02\/4quadranten_sinus_graph-1-1024x459.png 1024w, https:\/\/mathe-lernen.net\/wp-content\/uploads\/2023\/02\/4quadranten_sinus_graph-1-300x135.png 300w, https:\/\/mathe-lernen.net\/wp-content\/uploads\/2023\/02\/4quadranten_sinus_graph-1-768x344.png 768w, https:\/\/mathe-lernen.net\/wp-content\/uploads\/2023\/02\/4quadranten_sinus_graph-1.png 1251w\" sizes=\"auto, (max-width: 567px) 100vw, 567px\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p class=\"has-dark-gray-background-color has-text-color has-background\" style=\"color:#fff826\"><strong>Beispiel: y=f(x) =3 sin (2x); a = 3; b = 2<\/strong><\/p>\n\n\n\n<ol class=\"has-background wp-block-list\" style=\"background:linear-gradient(135deg,rgb(238,238,238) 53%,rgb(169,184,195) 100%)\"><li>Notiere mit Hilfe von Faktor a=3&nbsp; die Werte&nbsp;&nbsp;&nbsp; \\( y_{max}=3 \\)&nbsp; und \\(&nbsp; y_{min}=-3 \\)<\/li><li>Berechne die Periodenl\u00e4nge mit p = \\( \\frac{2 \\pi}{b} \\) = \\( \\frac{2 \\pi}{2} = \\pi \\)<\/li><li>Teile den Wert p=\\( \\pi \\)&nbsp;&nbsp; durch 4 ( jeder Abschnitt ist also&nbsp; \\( p_{(1,2,3,4)}= \\frac{\\pi}{4} \\)&nbsp; lang )<\/li><li>Jeder Quadrant enth\u00e4lt am Anfang und Ende einen typischen Fixpunkt ( \\( x_0 , y_{min} \\) oder \\(&nbsp; y_{max} \\) )<ul><li>Abschnitt \\( p_1&nbsp; \\) von 0 bis \\( \\frac{\\pi}{4} \\)&nbsp; ; Nullstelle \\( x_0 \\)=0 bis \\( y_{max} , \\) =3&nbsp; harmonisch zeichnen<\/li><li>Abschnitt \\( p_2&nbsp; \\) von \\( \\frac{\\pi}{4} \\)&nbsp; bis 2 \\( \\frac{\\pi}{4} \\) =\\( \\frac{\\pi}{2} \\))&nbsp;&nbsp; ; \\( y_{max} =3, \\)&nbsp; bis Nullstelle \\(x_0=0 \\)harmonisch zeichnen<\/li><li>Abschnitt \\( p_3&nbsp; \\) von \\( \\frac{\\pi}{2} \\)&nbsp; bis&nbsp; 3 \\( \\frac{\\pi}{4} \\) =\\( \\frac{3 \\cdot \\pi}{4} \\))&nbsp; ;Nullstelle \\( x_0 \\)=0 bis \\( y_{min} , \\) = &#8211; 3&nbsp; harmonisch zeichnen<\/li><li>Abschnitt \\( p_4&nbsp; \\) von&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; \\(&nbsp; \\frac{ 3 \\cdot \\pi}{4} \\)&nbsp; bis 4 \\( \\frac{\\pi}{4} \\)&nbsp; =&nbsp;&nbsp; \\( \\pi \\) ;&nbsp; \\( y_{min} \\) = &#8211; 3&nbsp; bis Nullstelle \\( x_0 \\) = 0&nbsp; harmonisch zeichnen<\/li><\/ul><\/li><\/ol>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-large is-resized\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mathe-lernen.net\/wp-content\/uploads\/2023\/02\/4quadranten_3_sinus_2x_graph-1024x967.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-5199\" width=\"521\" height=\"491\" srcset=\"https:\/\/mathe-lernen.net\/wp-content\/uploads\/2023\/02\/4quadranten_3_sinus_2x_graph-1024x967.png 1024w, https:\/\/mathe-lernen.net\/wp-content\/uploads\/2023\/02\/4quadranten_3_sinus_2x_graph-300x283.png 300w, 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src=\"https:\/\/www.geogebra.org\/material\/iframe\/id\/zajzapfh\/width\/841\/height\/462\/border\/888888\/sfsb\/true\/smb\/false\/stb\/false\/stbh\/false\/ai\/false\/asb\/false\/sri\/true\/rc\/false\/ld\/false\/sdz\/false\/ctl\/false\" width=\"841px\" height=\"462px\" style=\"border:0px;\" allowfullscreen=\"\"> <\/iframe>\n<div class=\"pvc_clear\"><\/div><p id=\"pvc_stats_932\" class=\"pvc_stats all  \" data-element-id=\"932\" style=\"\"><i class=\"pvc-stats-icon small\" aria-hidden=\"true\"><svg aria-hidden=\"true\" focusable=\"false\" data-prefix=\"far\" data-icon=\"chart-bar\" role=\"img\" xmlns=\"http:\/\/www.w3.org\/2000\/svg\" viewBox=\"0 0 512 512\" class=\"svg-inline--fa fa-chart-bar fa-w-16 fa-2x\"><path fill=\"currentColor\" d=\"M396.8 352h22.4c6.4 0 12.8-6.4 12.8-12.8V108.8c0-6.4-6.4-12.8-12.8-12.8h-22.4c-6.4 0-12.8 6.4-12.8 12.8v230.4c0 6.4 6.4 12.8 12.8 12.8zm-192 0h22.4c6.4 0 12.8-6.4 12.8-12.8V140.8c0-6.4-6.4-12.8-12.8-12.8h-22.4c-6.4 0-12.8 6.4-12.8 12.8v198.4c0 6.4 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Sein Effekt auf den Graphen nennt man Streckung f\u00fcr a&gt;1 und Stauchung f\u00fcr 0&lt;a&lt; 1. Funktionswerte verkleinern \/ vergr\u00f6\u00dfern sich, das Maximum\/ Minimum liegt dann bei a und -a und nicht mehr bei 1 und -1.Die<\/p>\n<div class=\"pvc_clear\"><\/div>\n<p id=\"pvc_stats_932\" class=\"pvc_stats all  \" data-element-id=\"932\" style=\"\"><i class=\"pvc-stats-icon small\" aria-hidden=\"true\"><svg aria-hidden=\"true\" focusable=\"false\" data-prefix=\"far\" data-icon=\"chart-bar\" role=\"img\" xmlns=\"http:\/\/www.w3.org\/2000\/svg\" viewBox=\"0 0 512 512\" class=\"svg-inline--fa fa-chart-bar fa-w-16 fa-2x\"><path fill=\"currentColor\" d=\"M396.8 352h22.4c6.4 0 12.8-6.4 12.8-12.8V108.8c0-6.4-6.4-12.8-12.8-12.8h-22.4c-6.4 0-12.8 6.4-12.8 12.8v230.4c0 6.4 6.4 12.8 12.8 12.8zm-192 0h22.4c6.4 0 12.8-6.4 12.8-12.8V140.8c0-6.4-6.4-12.8-12.8-12.8h-22.4c-6.4 0-12.8 6.4-12.8 12.8v198.4c0 6.4 6.4 12.8 12.8 12.8zm96 0h22.4c6.4 0 12.8-6.4 12.8-12.8V204.8c0-6.4-6.4-12.8-12.8-12.8h-22.4c-6.4 0-12.8 6.4-12.8 12.8v134.4c0 6.4 6.4 12.8 12.8 12.8zM496 400H48V80c0-8.84-7.16-16-16-16H16C7.16 64 0 71.16 0 80v336c0 17.67 14.33 32 32 32h464c8.84 0 16-7.16 16-16v-16c0-8.84-7.16-16-16-16zm-387.2-48h22.4c6.4 0 12.8-6.4 12.8-12.8v-70.4c0-6.4-6.4-12.8-12.8-12.8h-22.4c-6.4 0-12.8 6.4-12.8 12.8v70.4c0 6.4 6.4 12.8 12.8 12.8z\" class=\"\"><\/path><\/svg><\/i> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"16\" height=\"16\" alt=\"Loading\" src=\"https:\/\/mathe-lernen.net\/wp-content\/plugins\/page-views-count\/ajax-loader-2x.gif\" border=0 \/><\/p>\n<div class=\"pvc_clear\"><\/div>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[972,65],"tags":[631,749],"class_list":["post-932","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-winkelfunktionen","category-sinusfunktion","tag-sin","tag-winkelfunktion"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/mathe-lernen.net\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/932","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/mathe-lernen.net\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/mathe-lernen.net\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/mathe-lernen.net\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/mathe-lernen.net\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=932"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/mathe-lernen.net\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/932\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/mathe-lernen.net\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=932"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/mathe-lernen.net\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=932"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/mathe-lernen.net\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=932"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}