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<\/p>\n\n\n\n<\/p>\n\n\n\n
Die Funktionen mit der Vorschrift y =<\/strong><\/span> xn<\/sup><\/span><\/strong> oder genauer y =<\/strong><\/span> a<\/strong> xn<\/sup><\/span><\/strong> + c<\/strong> werden als Potenzfunktionen bezeichnet. Die Potenzfunktionen haben achsensymmetrische bzw. punktsymmetrische Parabeln oder Hyperbeln als Graphen, die alle den Punkt (1|1) gemeinsam haben. Ihre charakteristischen Verl\u00e4ufe machen sie gut erkennbar und unterscheidbar.<\/p>\n\n\n\n y =<\/strong><\/span> a<\/strong> xn<\/sup><\/span><\/strong> + c<\/strong> Wir unterscheiden 4 Unterarten der Potenzfunktionen:<\/strong><\/p>\n\n\n\n Nun zur grunds\u00e4tzlichen Arbeit im Einzelnen:<\/p>\n\n\n\n Bei der Erforschung der Eigenschaften der Potenzfunktionen sollte man mit gut abgestimmten Wertetabellen arbeiten, um dieses Funktionen genau zeichnen zu k\u00f6nnen.<\/strong> <\/p>\n\n\n\n y-Werte (Funktionswerte) <\/span><\/strong><\/p>\n\n\n\n .<\/span><\/strong>..entstehen durch das Potenzieren<\/span><\/strong> mit dem entsprechenden Exponenten n bei \\( y=x^n \\). Achtung! <\/strong>Beim Radizieren gerader Exponenten y= x\u00b2, \\( y=x^4 \\) usw. entstehen 2 Argumente x. \\( \\sqrt[4] 625 = \\pm 5 \\) <\/p>\n\n\n\n Allgemein gilt : Wir untersuchen die Funktion y = x\u00b2 <\/strong><\/p>\n\n\n\n Wertetabelle f\u00fcr y = x\u00b2<\/strong> im Intervall (-3; 3) Schrittweite 0,5:<\/p>\n\n\n\n Durch das Potenzieren mit 2 , auch Quadrieren genannt, (x *x =x\u00b2 ) werden alle Funktionswerte y positiviert. <\/strong><\/p>\n\n\n\n Wir untersuchen die Funktion y = x\u00b3 <\/strong><\/p>\n\n\n\n Wertetabelle f\u00fcr y = x\u00b3<\/strong> im Intervall (-3; 3) Schrittweite 0,5: <\/p>\n\n\n\n Durch das Potenzieren mit 3 (x *x*x =x\u00b3 ) behalten die Funktionswerte y das Vorzeichen des Argumentes x. <\/strong><\/p>\n\n\n\n Weitere Vergleiche von Untergruppen:<\/p>\n\n\n\n Vergleicht man die Funktionen y=x\u00b2 und y = \\(x^4\\), so stellt man fast, dass diese Funktionen zur selben Unterklasse geh\u00f6ren, jedoch kleine Unterschiede im Verlauf der Graphen sichtbar sind, die durch das Potenzieren der Argumente x verursacht werden.<\/p>\n\n\n\n Beispiel Quadrieren:<\/strong><\/p>\n\n\n\n 2\u00b2 =4 aber 0,2\u00b2 = 0,04 <\/strong><\/u> F\u00fcr \\(x^4\\) ist dieser Effekt noch extremer! Dieser Effekt zeigt sich im Graph deutlich!<\/p>\n\n\n\n Hier findest du eine gute Zusammenfassung zu den 4 Unterarten im Video!<\/strong><\/a><\/p>\n
Die Basis x <\/strong>ist hier die Variable(Argument) und der Exponent n ist eine ganze Zahl<\/strong>, die je nachdem ob sie positiv oder negativ und dabei jeweils noch gerade oder ungerade die Eigenschaften der Funktion pr\u00e4gen. <\/p>\n\n\n\n
Der Koeffizient<\/strong> a<\/strong> ist f\u00fcr Streckung, Stauchung und Spiegelung an der x-Achse verantwortlich und der
Summand c<\/strong> beeinflusst die Verschiebung des Graphen der Funktion auf der y-Achse.<\/p>\n\n\n\nn<\/strong>
ist positiv<\/span><\/strong>
und gerade<\/strong><\/td>n<\/strong>
ist positiv<\/span><\/strong>
und ungerade<\/strong><\/td>n<\/strong>
ist negativ<\/span><\/strong>
und gerade<\/strong><\/td>n<\/strong>
ist negativ<\/span><\/strong>
und ungerade<\/strong><\/td><\/tr>![\"\"](\"https:\/\/mathe-lernen.net\/wp-content\/uploads\/2020\/05\/square_red.jpg\")
\\( y = x^2 \\)
oder ![\"\"](\"https:\/\/mathe-lernen.net\/wp-content\/uploads\/2020\/05\/square_blue.jpg\")
\\( y = x^4 \\)<\/td> \\( y = x^3 \\)
oder
\\( y = x^5\\)<\/td> \\( y = x^{-2} \\)
oder
\\( y = x^{-4} \\)<\/td> \\( y = x^{-1} \\)
oder
\\( y = x^{-3}\\)<\/td><\/tr>![\"\"](\"https:\/\/mathe-lernen.net\/wp-content\/uploads\/2020\/05\/x2x4.jpg\")
<\/td>![\"\"](\"https:\/\/mathe-lernen.net\/wp-content\/uploads\/2020\/05\/x3x5.jpg\")
<\/td>![\"\"](\"https:\/\/mathe-lernen.net\/wp-content\/uploads\/2020\/05\/x_2_x_4.jpg\")
<\/td>![\"\"](\"https:\/\/mathe-lernen.net\/wp-content\/uploads\/2020\/05\/x_1_x_3.jpg\")
<\/td><\/tr>Die Graphen sind achsensymmetrische<\/em><\/strong> <\/span>
Parabeln<\/strong>.
Die Funktionen haben die Punkte
(-1|1) , (0|0) und (1|1) <\/strong>gemeinsam.
Die Nullstelle ist (0|0).<\/strong><\/td> Die Graphen sind punktsymmetrische<\/em> Parabeln<\/strong>.
Die Funktionen haben die Punkte
(-1|-1) , (0|0) und (1|1) <\/strong>
gemeinsam.
Die Nullstelle ist (0|0). <\/strong><\/td> Die Graphen sind achsensymmetrische<\/span><\/em><\/strong> Hyperbeln<\/strong>.
Die Funktionen haben die Punkte (-1|1) und (1|1)<\/strong> gemeinsam.
Eine Nullstelle existiert nicht. <\/strong><\/td> Die Graphen sind punktsymmetrische<\/em><\/strong> Hyperbeln<\/strong>.
Die Funktionen haben die Punkte (-1|-1) und (1|1)<\/strong> gemeinsam.
Eine Nullstelle existiert nicht. <\/strong><\/td><\/tr>Die Monotonie<\/strong> wechselt am Scheitelpunkt.<\/strong>
F\u00fcr negative Argumente
x\u2208 (-\u221e;0)fallend<\/strong><\/span>.
F\u00fcr positive Argumente
x\u2208 (0;\u221e) steigend<\/strong><\/span>.<\/td>F\u00fcr alle Argumente x
ist die Funktion
monoton<\/strong> steigend<\/strong><\/span> .<\/td>Die Monotonie wechselt an der y-Achse. <\/strong>
F\u00fcr negative Argumente
x\u2208 (-\u221e;0) monoton steigend<\/strong><\/span>.
F\u00fcr positive Argumente
x\u2208 (0;\u221e) monoton fallend<\/strong><\/span>.<\/td>F\u00fcr alle Argumente x mit
x \u2260 0 sind diese
Funktionen
monoton fallend<\/span><\/strong>. <\/td><\/tr>![\"\"](\"https:\/\/mathe-lernen.net\/wp-content\/uploads\/2020\/05\/x2x4_mono.jpg\")
<\/td>![\"\"](\"https:\/\/mathe-lernen.net\/wp-content\/uploads\/2020\/05\/x3x5_mono.jpg\")
<\/td>![\"\"](\"https:\/\/mathe-lernen.net\/wp-content\/uploads\/2020\/05\/x_2_x_4_mono.jpg\")
<\/td>![\"\"](\"https:\/\/mathe-lernen.net\/wp-content\/uploads\/2020\/05\/x_1_x_3_mono.jpg\")
<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n![\"\"](\"https:\/\/mathe-lernen.net\/wp-content\/uploads\/2022\/01\/allg-1024x151.jpg\")
<\/figure>\n\n\n\n
Die zugeh\u00f6rigen x-Werte (Argumente) entstehen durch das Radizieren (Wurzel ziehen)<\/span><\/strong> mittels der n.-Wurzel f\u00fcr die entsprechenden Exponenten f\u00fcr \\( y=x^n \\) . <\/p>\n\n\n\n
Die n.-Wurzel aus einer Zahl x ( \\( \\sqrt[n] x \\) <\/em>) ist die Zahl y die n-mal mit sich multipliziert wieder die Zahl x (den Radikanten) ergibt.
\\( \\sqrt[n] x = y \\) , wenn \\( \\underbrace{y \\cdot y \\cdot y … \\cdot y}_{n { – mal}} \\) = x <\/strong>
Beispiele:
\\( \\sqrt[3] 125 = 5 \\) , denn \\( \\underbrace{5 \\cdot 5 \\cdot 5}_{3 { – mal}} \\) = 125<\/strong>
\\( \\sqrt[4] 16 = 2 \\) , denn \\( \\underbrace{2 \\cdot 2 \\cdot 2 \\cdot 2}_{4 { – mal}} \\) = 16 <\/strong> aber auch<\/em><\/strong> \\( \\sqrt[4] 16 = -2 \\) , denn \\( \\underbrace{(-2) \\cdot (-2) \\cdot (-2) \\cdot (-2)}_{4 { – mal}} \\) = 16<\/strong>
man schreibt kurz: \\( \\sqrt[4] 16 = \\pm 2 \\)<\/strong> <\/p>\n\n\n\n
<\/p>\n\n\n\n![\"\"](\"https:\/\/mathe-lernen.net\/wp-content\/uploads\/2022\/01\/x_2.jpg\")
<\/figure>\n\n\n\n![\"\"](\"https:\/\/mathe-lernen.net\/wp-content\/uploads\/2022\/01\/x_3.jpg\")
<\/figure>\n\n\n\n![\"\"](\"https:\/\/mathe-lernen.net\/wp-content\/uploads\/2022\/01\/desmosx2x3-1024x1024.png\")
Quadrate von Zahlen gr\u00f6\u00dfer als 1 sind gr\u00f6\u00dfer als ihre Argumente. <\/strong>
5 < 5\u00b2 =25 oder 12 < 12\u00b2 =144
ABER: <\/strong>
Der Wert 0,2 – zwischen 0 und 1 gelegen – wird beim Potenzieren kleiner als das Argument.
0,2 > 0,2\u00b2 =0,04 oder 0,05 > 0,05\u00b2 = 0,0025<\/p>\n\n\n\n
Hier gilt:
2 <<\/strong> \\(2^4\\) = 16 ABER :<\/em> 0,2 ><\/strong> \\(0,2^4\\) = 0,016 <\/p>\n\n\n\n![\"\"](\"https:\/\/mathe-lernen.net\/wp-content\/uploads\/2022\/01\/vergleichx2x4-1024x1019.jpg\")
<\/figure>\n\n\n\n<\/div>