Die quadratische Funktion y=x²

Die quadratische Funktion y=x²

Die Funktion y=x² besitzt einen achsensymmetrischen Graphen, der den Scheitelpunkt (0|0) besitzt. Die Nullstelle der Funktion liegt ebenfalls bei (0|0) im Koordinatenursprung.

Die Funktion fällt im Intervall (-∞ ; 0 ) und steigt im Intervall (0 ; ∞).

Die Wertetabelle:

x-3-2-10123
y=x²(-3)*(-3) = 9(-2)*(-2) = 4(-1)*(-1)=10*0= 01*1=12*2=43*3=9

Der Graph der Funktion im Intervall (-2,8 ; 2,8)

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Das Intervall (0;1) zeigt den nichtlinearen Verlauf der quadratischen Funktion y=x².
Hier wachsen die Argumente zuerst schneller an als die Funktionswerte. Dies kehrt sich jedoch alsbald um. Im Punkt (1|1) sind Argument und Funktionswert gleich groß. Oberhalb des Argumentes 1 nehmen dann die Funktionswerte rasant zu.

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Der Sinussatz

Erklärung im Selbstversuch…

  1. Zeichne ein beliebiges Dreieck und miss seine Seiten und die 3 Innenwinkel.
  2. Bilde nun jeweils die Quotienten $$\frac{Seite} {sin(zugehöriger Winkel)} $$
  3. Du solltest feststellen, dass die Quotienten gleich groß sind!
  4. Damit kann man diese Quotienten gleichsetzen.
  5. Es entstehen 3 Verhältnisgleichungen!
  6. Die 3 Sinussätze:

\( \frac{a}{sin \alpha} =\frac{b}{sin \beta} oder \frac{a}{sin \alpha} =\frac{c}{sin \gamma} oder \frac{b}{sin \beta} =\frac{c}{sin \gamma} \)

Es gilt:

\( \frac{a}{sin \alpha} =\frac{b}{sin \beta} oder \frac{a}{sin \alpha} =\frac{c}{sin \gamma} oder \frac{b}{sin \beta} =\frac{c}{sin \gamma} \)

„Mit 3 gegebenen Werten zu einem Dreieck, von denen 2 Werte ein Seite-Winkel-Paar darstellen, kann man eine 4. Größe errechnen und danach die restlichen beiden Größen des Dreiecks ermitteln!„

Experiment zum Sinus-Satz (Variante 2)

Tipp: Erarbeite Dir ein Beispiel einer „Seitenberechnung“ und eine Beispiel für eine „Winkelberechnung“!

Für Fortgeschrittene:

Herleitung:

Im allgemeinen Dreieck gelten für die einbeschriebene Höhe auf Seite c (hc) die folgenden Gleichungen:

\( sin \alpha = \frac {GK}{H} = \frac {h_c}{b} \) und \( sin \beta = \frac {GK}{H} = \frac {h_c}{a} \)

Also gelten auch die umgestellten Gleichungen:

\( h_c = b \cdot sin \alpha \) und \( h_c = a \cdot sin \beta \)

Und damit gilt :

\( b \cdot sin \alpha = a \cdot sin \beta~~ \vert:sin \alpha ~~ \vert : sin \beta \)

Somit auch:

\( \frac {b} {sin \beta} = \frac {a}{ sin \alpha} \)

Wendet man das Verfahren auf die Höhe auf Seite b oder a an, gilt allgemein auch:

\( \frac {b} {sin \beta} = \frac {a}{ sin \beta} = \frac {c}{ sin \gamma}\) , der „SINUS-SATZ“ genannt.

„Mit 3 gegebenen Werten zu einem Dreieck, von denen 2 Werte ein Seite-Winkel-Paar darstellen, kann man eine 4. Größe errechnen und danach die restlichen beiden Größen des Dreiecks ermitteln!„

Beispielrechnung:

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1 … 180 181 182 183 184 … 205