Parabelgenerator
Notiere beide Funktionsvorschriften passend zum Graph. Kontrolliere dann.
Schlagwort: quadratische Funktion
quadratische Funktion – Nullstellen zählen
Die Funktion y=ax²+c
Der Graph der Funktion y=ax² + c ist eine Parabel. Der Faktor a sorgt dabei für Streckung, Stauchung oder gar Spiegelung. Der Summand c in der Funktionsvorschrift verschiebt den Graphen auf der y-Achse.
►externer Link zur hier folgenden Geogebra Anwendung
geogebra.org, Anton Bruckner
Der Scheitelpunkt S
Der Scheitelpunkt der Funktion liegt bei S( 0| c). Er ist also direkt von c abhängig.
Beispiel:
Die Funktion y= 2x² – 5 hat ihren Scheitelpunkt also bei S( 0| –5).
Die Nullstelle x0 / die Nullstellen der Funktion
Die Funktion hat maximal 2 Nullstellen – Schnittpunkte mit der x-Achse.
Diese liegen bei x01= + \( \sqrt{\frac{-c}{a}} \) und x02 = – \( \sqrt{\frac{-c}{a}} \)
Beispiel Nullstellenberechnung:
y = 2x² – 5
Setze y = 0 und forme die Gleichung danach nach x um!
0 = 2x² – 5 | + 5
5 = 2x² | : 2
2,5 = x² | \( \sqrt{} \)
x01 = + \( \sqrt{2,5} \) = 1,58
x02 = – \( \sqrt{2,5} \) = –1,58
Die Wertetabelle
y=4x² –1
| x | –2 | –1 | 0 | 5 |
| y |
y-Werte in einer Wertetabelle werden durch Einsetzen der gegebenen x-Werte in die Funktionsvorschrift errechnet.
| x | –2 | –1 | 0 | 5 |
| y | = 4*(–2)² – 1 = 15 | =4*(–1)² – 1 = 3 | =4*(0)² – 1 = –1 | =4*(5)² – 1 = 99 |
y=2x²+1
| x | ||||
| y | 5 | 8 | 100 | -12 |
Sind allerdings x-Werte gesucht und y-Werte gegeben, so wird …
…der y-Wert in die Funktionsvorschrift eingesetzt
und
…die Gleichung dann durch Umstellen nach x gelöst.
Achtung: Hier sind 2 Lösungen möglich!
| x | y=5 5=2x²+1 | – 1 4= 2x² | :2 2 = x² | √ x1=1,41 x2 = –1,41 | y=8 8=2x²+1 | – 1 7= 2x² | :2 3,5 = x² | √ x1=1,87 x2 = –1,87 | y=100 100=2x²+1 | – 1 99= 2x² | :2 49,5 = x² | √ x1=7,04 x2 = –7,04 | y=–12 –12=2x²+1 | – 1 –13= 2x² | :2 –6,5 = x² | √ x1 = n.d. (1) x2 = n.d. (1) |
| y | 5 | 8 | 100 | -12 |
Vereinfachend trägt man in die Wertetabelle die Ergebnisse mit einem Plusminus-Zeichen(±) ein.
| x | ±1,41 | ±1,87 | ±7,04 | n.d. |
| y | 5 | 8 | 100 | -12 |
Die Normalform y=x²+px+q der quadratischen Funktion
Die Normalform der quadratischen Funktion ist y=x² +px + q. Sie enthält die Variable x in 2. Potenz und einen linearen Anteil px sowie den Koeffizienten q. Der Graph dieser Funktion ist eine Normalparabel, deren Scheitelpunkt S bei \( (- \frac{p}{2} |- \frac{p²}{4}+q ) \). Die Verschiebung des Scheitelpunktes S der Funktion durch p und q ist also nicht einfach aus der Funktionsvorschrift abzulesen, sondern muss errechnet werden!
Diese Funktion hat bis zu 2 Nullstellen, wenn der Scheitelpunkt unterhalb der x-Achse liegt.
Die Nullstellen \( x_{1} und x_{2} \) liegen bei: \( x_{1/2} = – \frac{p}{2} \pm \sqrt { \frac{p ²}{4}-q } \)
Die Symmetrieachse der Parabel ist eine Parallele zur y-Achse und liegt bei \( – \frac{p}{2} \) ,
also bei der „halbierten Gegenzahl von p„.