Winkel am Einheitskreis (Kreativ)

Verändere mit dem Schieberegler den Winkel so, dass er dem geforderten Vielfachen der Kreiszahl entspricht.
Für die Erzeugung negativer Winkel nutze „Switch Direction“.



Autor:
Tim Brzezinski, geogebra.org

Die Sinusfunktion y=a sin (bx)

Die Funktion y = a *sin (x)

Der Faktor a bewirkt eine Vervielfachung der Funktionswerte, wie wir sie schon von anderen Funktionen her kennen.
Sein Effekt auf den Graphen nennt man Streckung für a>1 und Stauchung für 0<a< 1.
Funktionswerte verkleinern / vergrößern sich, das Maximum/ Minimum liegt dann bei a und -a und nicht mehr bei 1 und -1.
Die Lage der Nullstellen beeinflusst der Koeffizient a nicht.
Nutzt man negative Werte für a, kommt es zur Spiegelung des Graphen an der x-Achse(Abszisse).

Die Amplitude – die Ausschlaghöhe – der Funktion wird hier beeinflusst.

Probiere hier aus, wie der Koeffizient a auf den Graphen wirkt!

Die Funktion y = sin (bx)

Der Faktor b führt bei bei der Funktion zur Veränderung der kleinsten Periode.
Normalerweise beträgt sie bei y=sin(x) genau 2pi .
Der Faktor b verändert diese Länge auf der x-Achse, auf der sich der Graph periodisch wiederholt.

Die Periodenlänge errechnet sich aus:

$$\frac {2* \pi}{b} $$

Das Intervall von Null bis zum Wert der kleinsten Periode sollte dann zur Zeichnung geviertelt werden, um
Maxima, Minimum und Nullstellen zu errechnen.

Untersuche den Einfluss von b auf den Graphen von y = sin (b*x)

Der Einheitskreis

Zeichne einen Kreis in ein Koordinatensystem mit dem Radius 1 und dem Mittelpunkt im Ursprung des Systems.

Festlegung:

Dieser Kreis hat den Radius r=1 und damit den Durchmesser d=2

Sein Umfang beträgt u= pi * d = 2pi

Der Umfang des halben Kreises beträgt somit pi

Die Länge der Peripherielinie (b), die zu einem Winkel gehört, wird Bogenmaß (b) genannt.

Bezogen auf den Umfang des Kreises bilden sich Wertepaare (α , b)

WinkelBogenmaß
0*pi=0
30°pi/6
60°pi/3
90°pi/2
180°pi
270°3pi/2
360°2pi

VIDEO Winkelmaß – Bogenmaß

Die Umrechnung Winkel – Bogenmaß

Mit Hilfe der unten stehenden Formel, die man auch in jedem guten Tafelwerk findet, kann man Winkelmaß in Bogenmaße umwandeln und umgekehrt.

$$b= \frac {\alpha}{360°} *2\pi $$

Winkel und Bogenmaß im Taschenrechner

Unser Taschenrechner rechnet in der Voreinstellung mit Winkeln im Vollkreis von 360° DEG (..von Degree)

Mit dem Bogenmaß kann unser Taschenrechner auch rechnen. Dazu stellt man im Setup auf RAD (…Radiant) um.

Damit ist es nun auch möglich, die Sinus-Funktion unabhängig von der Winkelangabe im Koordinatensystem aufzutragen. Man erstellt eine Wertetabelle für y = f(b) = sin(b) , wobei nur noch reelle Zahlen benötigt werden. Das b wird durch x ersetzt und wir
können wie bei Funktionen gewohnt schreiben:

$$ y = f(x) = sin (x) ; x\in R $$

Nun sind jedoch Werte der x-Achse wie 1 oder 2 oder 3 uninteressant, denn die Teile und Vielfachen von pi bestimmen das Aussehen und die Eigenschaften von y = sin (x)

[weiterarbeiten…]

Damit wird die sehr unübersichtliche Darstellung von Winkeln auf der x-Achse überflüssig!

VIDEO Sinus-Funktion im Koordinatensystem

Sehr schöne Animation zur Darstellung Winkel –> sin(Winkel)

https://www.matheretter.de/do/loadprog?id=115

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