Maßstäbe

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Wir erstellen Modelle, um uns die Details besser zu veranschaulichen. Einige Modelle entstehen durch Vergrößern, andere durch Verkleinern. Im Folgenden findest Du Beispiele für unsere Kreativität.

Die älteste Landkarte ist die Darstellung eines Dorfes 6200 v.Chr. mit der Einzeichnung von Häusern und Straßen. Die Darstellung der Welt begann man um 500 v.Chr., wobei schon mathemaitsche Verfahren und Vermessungen genutzt wurden. erst im 16. Jahrhundert entstanden die ersten Atlanten. Die Kartographie wurde durch die Entdeckung Amerikas und die Erforschung Asiens vorangetrieben. Abraham Ortelius gab 1570 einen bedeutenden Atlas mit 70 Karten heraus.

Heute wird weltweit und auch in Deutschland die Kartographie vom Staat organisiert und so werden frei zugänglich aktuelle Karten im Maßstab 1:200.000 bereitgestellt.
Google Maps und die Entwicklung des GPS Systems haben die Kartographie weit vorangetrieben und zur Selbstverständlichkeit gemacht.

Modelleisenbahnen erfreuen sich großer Beliebtheit. Die Schienenfahrzeuge werden in verschiedenen Verkleinerungsmaßstäben angeboten. H0 - "H Null" Fahrzeuge sind im Maßstab 1:87 dargestellt. TT Bahnen sind 1:120 verkleinert.

Viele Modellbauer arbeiten an Gebäuden oder technischen Geräten. Dabei versuchen sie besonders technische Museumsstücke zu bewahren, die die Entwicklung der Technik aufzeigen. Windmühlen sind heute noch ein Highlight in der Landschaft, hatten früher jedoch eine lebenswichtige Bedeutung für die Menschen. Der Müller und seine Mühle gehörtenzu jeder ländlichen Lebensgemeinschaft.

Seit 1953 verkaufte man Automodelle als Spielzeug in kleinen Boxen, die wie Streichholzschachteln aussahen. "Matches" ...die Streichhölzer gaben ihnen ihren Namen. Bis heute erzielen diese kleinen Meisterwerke Höchstpreise unter Sammlern. Die Matchbox- Autos wurden oft im Maßstab 1:64 dargestellt.

Für architektonische Entwürfe und Demonstrationsmodelle für Anlagen und Bauwerke werden auch heute noch Modelle entworfen. So lässt sich ein ganzes Stadtzentrum übersichtlich darstellen und planen, wenn man die Bestandteile, wie im Sandkasten testweise hin und herschieben kann. Der Maßstab 1:1000 macht aus einem 20m langen Gebäude ein 2cm langes Modell.

Baupläne sind neben Landkarten die wohl bekannteste Anwendung von Verkleinerung in unserem täglichen Leben. So schrumpfen die Pläne für eine Bauvorhaben schnell auf Schreibtischgröße. Die Räume werden dann oft in 1:10 dargestellt. Aber auch Grundstückspläne in 1:100 sind üblich.

Das Puppenhaus ist beliebt wie eh und je. Die detailgetreue Darstellung erfolgte oft im Maßstab 1:12 oder auch 1:20. Die Puppe eines Erwachsenen 1,80m großen Mannes wäre bei 1:12 dann 15cm hoch.Und eine 26cm hohe Milchflasche hätte dann eine Höhe von...?

Modelle des menschlichen Körpers werden zu Unterrichtszwecken oft im Maßstab 1:1 dargestellt, da sie so zum besseren Verständnis beitragen. Einige wenige Organe wie das Auge findet man in der Schule auch als Vergrößerungsmodelle im Maßstab 10 : 1. Ebenso verhält es sich mit Pflanzenteilen wie Blüten, sie werden zu unserem besseren Verständnis vergrößert.

Aus Urlaubsorten sind sie nicht mehr wegzudenken. Teleskope, die uns weit entfernte Objekte "näher" bringen. Hat das einfache Opernglas noch eine Vergrößerung vom Faktor 3, so liefern gute Ferngläser Vergrößerungen im Maßstab 50:1 und mehr.

Als Galileo Galilei 1608 das erste Teleskop entwickelte konnte er nicht ahnen, dass 400 Jahre später diese Nachfahren seines "Fernrohres" tief in den Weltraum "schauen".
Heute nutzen wir neben anderen Varianten zum Beispiel große Spiegelteleskope, die gestochen scharfe Bilder aus den Tiefen des Weltraumes liefern.

Während man mit Teleskopen in die Ferne schaut, holen uns die Mikroskope winzige Objekte ins Licht, die wir ebenso ohne diese Vergrößerung nicht sehen würden. Das Mikroskop wurde um 1600 in den Niederlanden entwickelt. Seit dem nutzen wir Lichtmikroskope, die uns Vergrößerungen 5.000:1 und ein wenig mehr liefern. Moderne Mikroskope arbeiten mit Strahlung, die die Oberfläche eines Objektes abtastet. Dadurch entstehen Bilder, die uns sogar erlauben eine aus Atomen bestehende Oberfläche darzustellen. Das entspricht Vergrößerungen von ca. 1.000.000 :1 .

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Besprecht, in welchen Fällen wir die Wirklichkeit vergrößern und in welchen Fällen wir sie verkleinern!

Der Maßstab ist das Verhältnis, in dem diese Darstellung passiert.
Er ist definiert als das:

Verhältnis einer Länge auf der Karte zu ihrer Entsprechung in der Natur.

Wenn du weißt, welche Darstellung benutzt wurde, hast du schon gewonnen. Denn Du wirst immer Aufgaben gestellt bekommen, in denen nur eine der 4 Größen der Gleichungen fehlt.

Anleitung:
Hier geht es immer um Aufgaben mit 3 gegebenen Größen für die Gleichung:

1. Finde die gegebenen Größen!
2. Sorge für Einheitengleichheit! (Bei mehreren Einheiten)
3. Füge die gegebenen Größe in die richtige Gleichung ein und stelle die Gleichung nach der gesuchten Größe um!

Beispiele:

Aufgabe 1:

Herr Meier möchte einen Plan von seinem Haus zeichnen. Er weiß, dass sein Wohnzimmer 7m lang ist und der Plan einen Maßstab von 1:100 haben soll. Wie lang muss das Wohnzimmer in seinem Plan sein?

Finde die gegebenen Größen!

gegeben:
Zeichnung Haus (Verkleinerung)
Maßstab 1 : 100
7m Wohnzimmerlänge (Originalmaß)

Sorge für Einheitengleichheit!

Hier unnötig! Die Einheit ist nur Meter!

Füge die gegebenen Größe in die richtige Gleichung ein und stelle die Gleichung nach der gesuchten Größe um!

Verkleinerung, also …

\( \frac{1}{k} = \frac{Bildmaß}{Originalmaß} \)

Einsetzen der Größen:

\( \frac{1}{100} = \frac{Bildmaß}{7m} | \cdot 7m \)

Isolieren der gesuchten Größe … Die Angabe „7m“ im Nenner stört…
Also,… multiplizieren beider Seiten mit 7m

\( \frac{7m}{100} = Bildmaß \)

\( 0,07m = Bildmaß = 7cm \)

Antwortsatz:
Die Länge des Wohnzimmers auf der Zeichnung beträgt 7cm.

Aufgabe 2:

Welche Höhe hat ein Hochofen, wenn sein Modell im Maßstab 1:2000 nur 32mm hoch ist?

Finde die gegebenen Größen!

gegeben:
Modell Hochofen (Verkleinerung)
Maßstab 1 : 2000
32mm Höhe des Modells (Bildmaß)

Verkleinerung, also …

\( \frac{1}{k} = \frac{Bildmaß}{Originalmaß} \)

Einsetzen der Größen:

\( \frac{1}{2000} = \frac{32mm}{Originalmaß} \)

Die gesuchte Größe steht unten!
Auf beiden Seiten der Gleichung muss der Kehrwert gebildet werden! (Reziprok bilden!)

\( \frac{2000}{1} = \frac{Originalmaß}{32mm} | \cdot 32mm\)

Isolieren der gesuchten Größe … Die Angabe „32mm“ im Nenner stört…
Also,… multiplizieren beider Seiten mit 32mm

\( 32mm \cdot 2000 = Originalmaß \)

\( 64.000mm = Originalmaß = 64m \)

Antwortsatz:
Die Hochofenhöhe beträgt in der Wirklichkeit 64m.

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Prüfungsvorbereitung

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Die schriftliche Prüfung zum Realschulabschluss dauert in Sachsen 240min. Dabei ist im ersten Abschnitt (Teil A) ohne Hilfsmittel zu arbeiten (Tafelwerk, Taschenrechner). Dieser Teil A dauert max. 30 min und bringt 12 BE von den insgesamt 50 Bewertungseinheiten (BE).
Nach erfolgter Bearbeitung und dem Einsammeln der Arbeitsblätter Teil A wird eine Einlesezeit von 15 min gewährt, in der Fragen zum Prüfungstext gestellt werden dürfen. Im Anschluss beginnt die 210 minütige Arbeitszeit am Teil B, der aus dem Pflichtteil (ca. 5 Anwendungsaufgaben, 30 BE) und einer komplexen Wahlaufgabe (8BE) besteht.

Hier findest Du die Prüfungen der vergangenen Jahre als PDF-Dateien.
Wähle dort deine Schule und frage Deinen Mathelehrer oder Schulleiter nach dem gültigen Passwort.

Vorbereitung Teil A


Hier findest Du Aufgaben, die im hilfsmittelfreien Teil der Prüfung gestellt werden könnten:
LINK 1 (gemischte Aufgaben als Wochenaufgaben … unten ZIP Dateien)

LINK 2 (thematisch geordnete Aufgaben)

Vorbereitung Teil B

Systematisierung für die Prüfung

Die großen 4 Themen der Prüfung
sind Gleichungen und Funktionen, Prozent und Zins, Flächen, Körper

Die großen 4 – 1. Prozent und Zins

Tipp: Nutze die Arbeitsmaterialien der Klasse 7 zu deiner Vorbereitung.

Die großen 4 – 2. Flächen

Tipp: Nutze die Arbeitsmaterialien der Klasse 6: Dreiecke, Klasse7: Vierecke, Klasse 8: Kreis,Klasse 9: rechtwinkliges Dreieck, Klasse 10: allgemeines Dreieck

Die großen 4 – 3. Gleichungen und Funktion

Tipp: Nutze die Arbeitsmaterialien der Klasse 8: lineare Funktion, Klasse 9: quadratische Funktion, Klasse 10: Potenzfunktion, Exponentialfunktion, Winkelfunktion

Die großen 4 – 4. Körper

Tipp: Nutze die Arbeitsmaterialien der Klasse 5/6: Quader,Würfel Klasse 7: Prisma, Klasse 8: Zylinder, Klasse 9: Pyramide, Kegel, Kugel, zusammengesetzte Körper, Klasse 10: Stümpfe

Nebenthemen Stochastik und Ähnlichkeit

Tipp: Nutze Klasse 7:Häufigkeit,Klasse 8: mehrstufige Zufallsexperimente,Klasse 9: Statistik und Zufallsgröße,
Klasse 10: Erwartungswert der Zufallsgröße

Die Aufgabensammlung

Prozent und Zins
Klasse 7

Der eigene Haushalt ( Kosten, Kredit, Schuldenfalle,…)
Klasse 6: Proportionalität und Zuordnungen, Dreisatz
Klasse 7:Prozent und Zins

Flächen
Klasse 6: Dreiecke
Klasse7: Vierecke
Klasse 8: Kreis

Körper (Darstellung und Berechnung)
Klasse 7: Prisma,
Klasse 8: Zylinder
Klasse 9: Pyramide-Kegel-Kugel

Kegel- und Pyramidenstumpf
Klasse 10

Ähnlichkeit an Flächen und Körpern, Anwenden des Vergrößerns und Verkleinerns mittels zentrischer Streckung
Klasse 6: Maßstäbe
Klasse 8: Ähnlichkeit von Flächen und Körpern

Herleiten von Formeln – für mathematischer und außermathematische Sachverhalte und für
Flächen, Umfänge, Volumina, Oberflächen und ähnliche math. Größen

Klasse 8: Gleichungssysteme, Ähnlichkeit
alle Klassenstufen: Gleichungen, Flächen und Körper

Bestimmung von Häufigkeiten, Wahrscheinlichkeiten und Erwartungswerten sowie das Beschreiben von Zufallsexperimenten mit Hilfe von Modellen wie der Nutzung von Urnen und Zufallszahlen und Veranschaulichung an Baumdiagrammen
Klasse 7:Häufigkeit
Klasse 8: mehrstufige Zufallsexperimente
Klasse 9: Statistik und Zufallsgröße
Klasse 10: Erwartungswert der Zufallsgröße

funktionale Zusammenhänge
Klasse 8: lineare Funktionen
Klasse 9: quadratische Funktionen
Klasse 10: Potenzfunktionen, Exponentialfunktionen, Winkelfunktion

Aufgabensammlung:

Tipp:
Beginne im Dezember oder Januar mit der wöchentlichen eines Blattes als Wochenaufgabe. Lösungen sind enthalten! Hinweise zu Lösungswegen gibt es auf Anfrage.

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