Kategorie: Trigonometrie – Dreiecke und Vierecke

Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck

Arbeite mit den Formeln zur Berechnung von Seiten und Winkeln an rechtwinkligen Dreiecken.
Klick ins Anwortfeld und ergänze dort deine Rechnung mit dem eingeblendeten wissenschaftlichen Taschenrechner(Symbol links unten- bei Klick ins Eingabefeld).

Hinweis:

„tan(A)“ bedeutet hier „Tangens von Alpha“



Autor:
Tim Brzezinski, geogebra.org

Man kann hier Terme auch nur aus Textbefehlen zusammensetzen:

/ erzeugt hier einen „gemeinen“ Bruchstrich

„sqrt“ erzeugt nach Hinzufügen eines Leerzeichens ein Wurzelsymbol

sqrt 7² + 3² erzeugt hier \( \sqrt{7^2 + 3^2} \)
(…ist also die Berechnung einer nicht gegebenen Hypotenuse mit den Katheten 3 und 7)

Loading

Dreieck – Fläche einstellen (Kreativ)

Richte das Dreieck mit der geforderten Eigenschaft so ein, dass es die genannte Fläche einnimmt!

acute = spitzwinklig , right = rechtwinklig , obtuse=stumpfwinklig

area = 20 bedeutet, der Flächeninhalt soll 20 vollständigen kleinen Kästchen entsprechen!



Autor:
Tim Brzezinski, geogebra.org

Loading

Vierecke

Geradlinig begrenzte Flächen mit vier Eckpunkten nennt man Viereck. Liegen die Diagonalen innerhalb des Vierecks, so nennt man das Viereck konvex. Konkave Vierecke enthalten einen überstumpfen Winkel.

Die Benennung von Vierecken und anderen Vielecken erfolgt unten links beginnend mit dem Eckpunkt „A“ gegen den Uhrzeigersinn folgend. Der Winkel Alpha hat seinen Scheitelpunkt bei A. Die Seite „a“ verbindet die Eckpunkte A und B.

In allen Vierecken gilt:

Die Innenwinkelsumme im Viereck beträgt 360°, da sich alle Vierecke in je 2 Dreiecke mit der Innenwinkelsumme 180° zerlegen lassen.

Der Umfang der Vierecke ist u= a+b+c+d.

Die Fläche A der Vierecke ist gleich der Summe der beiden Teildreiecksflächen.

Die von A ausgehende Diagonale heißt e. Die vom Eckpunkt B ausgehende Diagonale heißt f.

Will man ein Viereck konstruieren, so benötigt man mindestens 5 Größen (Seiten oder Winkel) von denen mindestens 2 Seiten sein müssen. Bei besonderen Vierecken lassen sich meist Seitenlängen und Winkelgrößen voneinander ableiten, so dass sich die notwendige Anzahl der gegebenen Stücke verringert.

weiter zur Hierarchie der Vierecke

Loading

Der Sinussatz

Erklärung im Selbstversuch…

  1. Zeichne ein beliebiges Dreieck und miss seine Seiten und die 3 Innenwinkel.
  2. Bilde nun jeweils die Quotienten $$\frac{Seite} {sin(zugehöriger Winkel)} $$
  3. Du solltest feststellen, dass die Quotienten gleich groß sind!
  4. Damit kann man diese Quotienten gleichsetzen.
  5. Es entstehen 3 Verhältnisgleichungen!
  6. Die 3 Sinussätze:

\( \frac{a}{sin \alpha} =\frac{b}{sin \beta} oder \frac{a}{sin \alpha} =\frac{c}{sin \gamma} oder \frac{b}{sin \beta} =\frac{c}{sin \gamma} \)

Experiment zum Sinus-Satz (Variante 2)

Es gilt:

\( \frac{a}{sin \alpha} =\frac{b}{sin \beta} oder \frac{a}{sin \alpha} =\frac{c}{sin \gamma} oder \frac{b}{sin \beta} =\frac{c}{sin \gamma} \)

„Mit 3 gegebenen Werten zu einem Dreieck, von denen 2 Werte ein Seite-Winkel-Paar darstellen, kann man eine 4. Größe errechnen und danach die restlichen beiden Größen des Dreiecks ermitteln!„

Tipp: Erarbeite Dir ein Beispiel einer „Seitenberechnung“ und eine Beispiel für eine „Winkelberechnung“!

Beispielrechnung:

Loading

1 … 5 6 7