Die Gebrochene Zahlen \( \Bbb Q + \) sind die Menge aller Zahlen, die sich als Bruch darstellen lassen. Dabei wird die Darstellung als gemeiner Bruch ( \( \frac{3}{4} \) ) oder als Dezimalbruch ( 0,723 ) verwendet.
Für die gebrochenen Zahlen gilt:
\( \bullet \) Die kleinste Zahl ist Null.
\( \bullet \) Zwischen Null und 1 gibt es unendlich viele Zahlen \( \rightarrow \) der Zahlenraum ist „dicht“.
\( \bullet \)Zwischen scheinbar benachbarten Zahlen (1,55 und 1,56) kann man durch Anhängen einer Kommastelle immer wieder neue Zahlen bilden!
Zuerst lernen wir zählen! Nicht sofort mit Null beginnend aber fortlaufend zählten wir stolz … 1, 2, 3, 4, 5, 6 und so weiter.
Dass zwischen den Zahlen „Lücken“ bestehen, ist uns anfangs nicht bewusst. Schnell merkt man jedoch bei der Angabe von Geld oder Zeiten, Weiten und Höhen im Sport, dass da noch mehr sein muss.
Ein Wechselgeld von 3,07€ oder unsere Höchstleistung beim Weitsprung mit 2,47m zeigen das.
Zur Unterscheidung der Zahlenarten kann man sich die Zahlen als Mengen vorstellen.
So enthält die Menge aller natürlichen Zahlen( \(\Bbb N \) ) die Null als kleinste Zahl und alle folgenden Zahlen mit dem jeweiligen Abstand Eins voneinander. ( \(\Bbb N \) )={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9…} Die Null – und alle anderen natürlichen Zahlen – gehört allerdings auch zu den gebrochenen Zahlen ( \(\Bbb Q + \) ), also den positiven Brüchen. Das Mengendiagramm zeigt dieses Verhältnis. Zahlenmengen werden oft als Ellipsen veranschaulicht.
Hier kennt man, dass die natürlichen Zahlen \(\Bbb N \) alle auch in der Menge der positiven gebrochenen Zahlen \(\Bbb Q_+ \) zu finden sind!
Man schreibt: \(\Bbb N \) < \(\Bbb Q + \) oder besser \(\Bbb N \subset \Bbb Q + \)
Da es gebrochene Zahlen( \( \frac{3}{4} \) oder 0,72 ) gibt, die keine natürlichen Zahlen sind, muss die Menger der gebrochenen Zahlen größer sein, als die Menge der natürlichen Zahlen.
Die Menge der natürlichen Zahlen ist eine Teilmenge der gebrochenen Zahlen \(\Bbb N \subset \Bbb Q + \)
Weitere Zahlenbereiche sind beispielsweise die rationalen Zahlen \(\Bbb Q \), die ganzen Zahlen ( \(\Bbb Z \) ) und die reellen Zahlen ( \(\Bbb R \) ).
Wir erstellen Modelle, um uns die Details besser zu veranschaulichen. Einige Modelle entstehen durch Vergrößern, andere durch Verkleinern. Im Folgenden findest Du Beispiele für unsere Kreativität.
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Die älteste Landkarte ist die Darstellung eines Dorfes 6200 v.Chr. mit der Einzeichnung von Häusern und Straßen. Die Darstellung der Welt begann man um 500 v.Chr., wobei schon mathemaitsche Verfahren und Vermessungen genutzt wurden. erst im 16. Jahrhundert entstanden die ersten Atlanten. Die Kartographie wurde durch die Entdeckung Amerikas und die Erforschung Asiens vorangetrieben. Abraham Ortelius gab 1570 einen bedeutenden Atlas mit 70 Karten heraus.
Heute wird weltweit und auch in Deutschland die Kartographie vom Staat organisiert und so werden frei zugänglich aktuelle Karten im Maßstab 1:200.000 bereitgestellt.
Google Maps und die Entwicklung des GPS Systems haben die Kartographie weit vorangetrieben und zur Selbstverständlichkeit gemacht.
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Modelleisenbahnen erfreuen sich großer Beliebtheit. Die Schienenfahrzeuge werden in verschiedenen Verkleinerungsmaßstäben angeboten. H0 - "H Null" Fahrzeuge sind im Maßstab 1:87 dargestellt. TT Bahnen sind 1:120 verkleinert.
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Viele Modellbauer arbeiten an Gebäuden oder technischen Geräten. Dabei versuchen sie besonders technische Museumsstücke zu bewahren, die die Entwicklung der Technik aufzeigen. Windmühlen sind heute noch ein Highlight in der Landschaft, hatten früher jedoch eine lebenswichtige Bedeutung für die Menschen. Der Müller und seine Mühle gehörtenzu jeder ländlichen Lebensgemeinschaft.
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Seit 1953 verkaufte man Automodelle als Spielzeug in kleinen Boxen, die wie Streichholzschachteln aussahen. "Matches" ...die Streichhölzer gaben ihnen ihren Namen. Bis heute erzielen diese kleinen Meisterwerke Höchstpreise unter Sammlern. Die Matchbox- Autos wurden oft im Maßstab 1:64 dargestellt.
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Für architektonische Entwürfe und Demonstrationsmodelle für Anlagen und Bauwerke werden auch heute noch Modelle entworfen. So lässt sich ein ganzes Stadtzentrum übersichtlich darstellen und planen, wenn man die Bestandteile, wie im Sandkasten testweise hin und herschieben kann. Der Maßstab 1:1000 macht aus einem 20m langen Gebäude ein 2cm langes Modell.
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Baupläne sind neben Landkarten die wohl bekannteste Anwendung von Verkleinerung in unserem täglichen Leben. So schrumpfen die Pläne für eine Bauvorhaben schnell auf Schreibtischgröße. Die Räume werden dann oft in 1:10 dargestellt. Aber auch Grundstückspläne in 1:100 sind üblich.
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Das Puppenhaus ist beliebt wie eh und je. Die detailgetreue Darstellung erfolgte oft im Maßstab 1:12 oder auch 1:20. Die Puppe eines Erwachsenen 1,80m großen Mannes wäre bei 1:12 dann 15cm hoch.Und eine 26cm hohe Milchflasche hätte dann eine Höhe von...?
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Modelle des menschlichen Körpers werden zu Unterrichtszwecken oft im Maßstab 1:1 dargestellt, da sie so zum besseren Verständnis beitragen. Einige wenige Organe wie das Auge findet man in der Schule auch als Vergrößerungsmodelle im Maßstab 10 : 1. Ebenso verhält es sich mit Pflanzenteilen wie Blüten, sie werden zu unserem besseren Verständnis vergrößert.
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Aus Urlaubsorten sind sie nicht mehr wegzudenken. Teleskope, die uns weit entfernte Objekte "näher" bringen. Hat das einfache Opernglas noch eine Vergrößerung vom Faktor 3, so liefern gute Ferngläser Vergrößerungen im Maßstab 50:1 und mehr.
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Als Galileo Galilei 1608 das erste Teleskop entwickelte konnte er nicht ahnen, dass 400 Jahre später diese Nachfahren seines "Fernrohres" tief in den Weltraum "schauen".
Heute nutzen wir neben anderen Varianten zum Beispiel große Spiegelteleskope, die gestochen scharfe Bilder aus den Tiefen des Weltraumes liefern.
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Während man mit Teleskopen in die Ferne schaut, holen uns die Mikroskope winzige Objekte ins Licht, die wir ebenso ohne diese Vergrößerung nicht sehen würden. Das Mikroskop wurde um 1600 in den Niederlanden entwickelt. Seit dem nutzen wir Lichtmikroskope, die uns Vergrößerungen 5.000:1 und ein wenig mehr liefern. Moderne Mikroskope arbeiten mit Strahlung, die die Oberfläche eines Objektes abtastet. Dadurch entstehen Bilder, die uns sogar erlauben eine aus Atomen bestehende Oberfläche darzustellen. Das entspricht Vergrößerungen von ca. 1.000.000 :1 .
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Besprecht, in welchen Fällen wir die Wirklichkeit vergrößern und in welchen Fällen wir sie verkleinern!
Der Maßstab ist das Verhältnis, in dem diese Darstellung passiert. Er ist definiert als das:
Verhältnis einer Länge auf der Karte zu ihrer Entsprechung in der Natur.
Wenn du weißt, welche Darstellung benutzt wurde, hast du schon gewonnen. Denn Du wirst immer Aufgaben gestellt bekommen, in denen nur eine der 4 Größen der Gleichungen fehlt.
Anleitung: Hier geht es immer um Aufgaben mit 3 gegebenen Größen für die Gleichung:
1. Finde die gegebenen Größen! 2. Sorge für Einheitengleichheit! (Bei mehreren Einheiten) 3. Füge die gegebenen Größe in die richtige Gleichung ein und stelle die Gleichung nach der gesuchten Größe um!
Beispiele:
Aufgabe 1:
Herr Meier möchte einen Plan von seinem Haus zeichnen. Er weiß, dass sein Wohnzimmer 7m lang ist und der Plan einen Maßstab von 1:100 haben soll. Wie lang muss das Wohnzimmer in seinem Plan sein?
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