Parabeln erkennen II (App)
Kategorie: quadratische Funktion
Streckung und Stauchung von Funktionsgraphen y = ax²
Streckung
Der Koeffizient a bewirkt bei a=2 eine Verdopplung der Funktionswerte.
Jeder y-Wert wird also doppelt so groß und damit doppelt so hoch eingetragen.
Diesen Effekt nennt man Streckung des Graphen.
Dieses Streckung findet man vor, wenn a > 1 ist.
Stauchung
Setzt man in die Funktion y = ax² für a Werte ein, die zwischen Null und 1 liegen ( 0<a<1 ), so beobachtet man eine Verkleinerung der Funktionswerte gegenüber den Funktionswerten der Funktion y = x²
$$ \textsf{Hier am Beispiel } y = \frac {1}{2}x² $$
Die Scheitelpunktform der quadratischen Funktion
y = (x+d)² +e
Schau dir den Einfluss von d(blau) und e(grün) im folgenden Plotterfenster an.
Autor: Eckerts, geogebra.org
Stell für d = 2 ein und wähle für e = – 3. Lies den Scheitelpunkt ab und notiere ihn!
Verfahre mit einigen ganzzahligen Beispielen ebenso.
| d | e | S | |
| 2 | -1 | ||
| -4 | 2 | ||
| 3 | -4 | ||
| -1 | 2 |
Die Form y = (x+d)² + e heißt Scheitelpunktsform, da der Scheitelpunkt mit seinen Koordinaten -d und e schon in der Vorschrift enthalten ist..
Der Scheitelpunkt dieser Funktion liegt bei S(-d|e)
Der Graph ist immer eine Normalparabel.
Hier noch mal ein voreingestellter Plotter auf www.desmos.com
Die quadratische Funktion y=ax²
Der Koeffizient(Faktor) a für zu einer Streckung oder Stauchung der Normalparabel der Funktion y=x². Ist der Faktor zudem noch negativ, so bedeutet dies die Spiegelung des Graphen an der x-Achse(Abzisse).
y=ax² mit a>1 führen zur Streckung des Graphen Beispiele hier sind y = 2x² oder y = 5,7x²
Die Normalparabel y = x² ist hier rot dargestellt.
y=ax² mit a<1 führen zur Stauchung des Graphen Beispiele hier sind y = 0,5x² oder y = 0,07x²
Die Normalparabel y = x² ist hier rot dargestellt.
Setzt man für a negative Werte ein, so entsteht ein Graph, der im 3. und 4. Quadranten verläuft und nach unten geöffnet ist.
Die rot gezeichnete Funktion heißt y = – x².
Klick in das untere Fenster um auf desmos.com mit dem REGLER für a die unterschiedlichen Effekte auf den Funktionsgraph von y= ax² auszuprobieren.