Die Mittelwerte – statistische Kenngrößen

Kenngrößen, wie die Spannweite, das Maximum, das Minimum oder auch den Mittelwert (Durchschnitt) benutzt man um grundlegende Aussagen über eine Datenreihe zu machen.

Wie aber lassen sich Aussagen über die verschiedenen Arten von Datenreihen machen?

Reihe 1: Hamburg, Berlin, München, Hamburg, München, Berlin, Berlin, Hamburg
Reihe 2: gut, geht so, gut, sehr gut, gut, gut, sehr gut
Reihe 3: 3, 5, 6, 3, 8, 7, 56, 4, 3

Zentralwert / Median x_med. 

    ist der mittlere Wert einer sortierten  (geordneten) Reihe!

Sollte die Reihe eine gerade Anzahl von Gliedern also keine Mitte haben, so wird das arithmetische Mittel aus den beiden mittleren Gliedern dieser geordneten Reihe gebildet!

► der Zentralwert ist robust gegen Ausreißer

►   der Zentralwert ist nützlich bei ordinal (Wertungen : gut, sehr gut … ) skalierten Reihen

Datenreihe:	15, 4, 9, 11, 2, 7, 9, 10, 5	Die Datenreihe enthält 9 Elemente(Daten). Sie ist numerisch skaliert.(…enthält Zahlen)
Ordnen der Daten	2, 4, 5, 7,9,9,10,11,15	Kommafreie Zahlen können durch Kommata getrennt werden, sonst hilft hier das Semikolon(;)
Mitte der Datenreihe finden	2, 4, 5, 7,9,9,10,11,15 Datenzahl 9 Mitte finden: (9+1) : 2=5 5. Wert ist Zentralwert!	Bei übersichtlichen Datenreihen wird die Mitte abgezählt, ansonsten gilt die Regel: Datenzahl gerade : ►Datenzahl geteilt durch 2, Dieses Element und sein Folgewert sind die Mitte und der Zentralwert muss als arithmetische Mittel der beiden Werte gebildet werden! Datenzahl ungerade: ► (Datenzahl +1 ) geteilt durch 2 Dieses Element ist die Mitte und damit der Zentralwert! Hier: 9 Daten: ungerade also … 9 Daten plus 1 = 10 10 geteilt durch 2 ergibt 5 die Mitte bildet also 5. Wert
Zentralwert ermitteln	5. Wert der geordneten Reihe 9

Der Durchschnitt oder das arithmetisches Mittel x_arith.  

      Summe aller Werte der Reihe dividiert durch die Anzahl der Reihenglieder!

Addiere alle Zahlen(Daten) der Reihe und teile diese Summe dann durch die Anzahl der addierten Zahlen(Daten)!

►    das arithmetische Mittel ist anfällig gegen Ausreißer(sehr große oder kleine Abweichler)

►    das arithmetische Mittel ist sehr nützlich bei metrisch (zahlenorientiert) skalierten Reihen

Datenreihe	2, 8, 14, 5, 7, 11 Datenreihe enthält 6 Zahlen.	Zähle die Werte der Datenreihe Die Datenreihe muss nicht geordnet werden!
Werte der Datenreihe addieren	2+8+14+5+7+11=47	Summiere alle Werte der Datenreihe
Mittelwert finden	47 : 6 = 7,83 Das arithmetische Mittel beträgt 7,83.	Berechne den Quotienten: \( \frac{Summe der Daten}{Anzahl der Daten} \)

Modalwert(Modus) x_mod         

     Wert mit der größten Häufigkeit in einer Reihe!

Gibt es mehrere Merkmalsausprägungen mit der gleichen maximalen Häufigkeit, so existiert kein Modalwert.
Dieser Mittelwert beschreibt auch Reihen, in denen keine Berechnung im eigentlichen Sinne möglich ist!
(Worturteile, wie  Lieblingsfarben, …)

► der Modalwert ist für nominal( Hamburg, Berlin …)  oder ordinal (s.o.) skalierte Reihen geeignet

Datenreihe	rot, blau, gelb, gelb, rot, blau, rot, blau, gelb, gelb, rot, blau, schwarz, blau, gelb, rot, rot	Die Datenreihe muss nicht geordnet werden. Sie wird ausgezählt …
Notiere die verschiedenen Werte der Reihe	rot gelb blau schwarz	Verschaffe dir einen Überblick über die enthaltenen Werte.
Zähle die Häufigkeiten	——————————- rot: 6mal gelb: 6 mal blau: 5 mal schwarz: 1 mal ——————————–	Zähle die Häufigkeit jedes einzelnen der verschiedenen enthaltenen Werte.
Modalwert benennen	Rot und Gelb sind Modalwert der Reihe	Nenne die Werte mit der höchsten Häufigkeit (Es können auch mehrere Werte der Modalwert der Reihe sein!)

Arbeitsblatt mit Beispielen (ungelöst) tzu diesen Kenngrößen:

Videos zur Erklärung dieser statistischen Kenngrößen: