Potenzfunktionen \( y=x^n \)

Die Funktionen mit der Vorschrift y = xⁿ oder genauer y = a xⁿ + c werden als Potenzfunktionen bezeichnet.
Die Basis x ist hier die Variable(Argument) und der Exponent n ist eine ganze Zahl, die je nachdem ob sie positiv oder negativ und dabei jeweils noch gerade oder ungerade die Eigenschaften der Funktion prägen.

Die Potenzfunktionen haben achsensymmetrische bzw. punktsymmetrische Parabeln oder Hyperbeln als Graphen, die alle den Punkt (1|1) gemeinsam haben. Ihre charakteristischen Verläufe machen sie gut erkennbar und unterscheidbar.

y = a xⁿ + c
Der Koeffizient a ist für Streckung, Stauchung und Spiegelung an der x-Achse verantwortlich und der
Summand c beeinflusst die Verschiebung des Graphen der Funktion auf der y-Achse.

Wir unterscheiden 4 Unterarten der Potenzfunktionen:

n ist positiv und gerade	n ist positiv und ungerade	n ist negativ und gerade	n ist negativ und ungerade
\( y = x^2 \) oder \( y = x^4 \)	\( y = x^3 \) oder \( y = x^5\)	\( y = x^{-2} \) oder \( y = x^{-4} \)	\( y = x^{-1} \) oder \( y = x^{-3}\)
Die Graphen sind achsensymmetrische Parabeln. Die Funktionen haben die Punkte (-1|1) , (0|0) und (1|1) gemeinsam. Die Nullstelle ist (0|0).	Die Graphen sind punktsymmetrische Parabeln. Die Funktionen haben die Punkte (-1|-1) , (0|0) und (1|1) gemeinsam. Die Nullstelle ist (0|0).	Die Graphen sind achsensymmetrische Hyperbeln. Die Funktionen haben die Punkte (-1|1) und (1|1) gemeinsam. Eine Nullstelle existiert nicht.	Die Graphen sind punktsymmetrische Hyperbeln. Die Funktionen haben die Punkte (-1|-1) und (1|1) gemeinsam. Eine Nullstelle existiert nicht.
Die Monotonie wechselt am Scheitelpunkt. Für negative Argumente x∈ (-∞;0)fallend. Für positive Argumente x∈ (0;∞) steigend.	Für alle Argumente x ist die Funktion monoton steigend .	Die Monotonie wechselt an der y-Achse. Für negative Argumente x∈ (-∞;0) monoton steigend. Für positive Argumente x∈ (0;∞) monoton fallend.	Für alle Argumente x mit x ≠ 0 sind diese Funktionen monoton fallend.

Nun zur grundsätzlichen Arbeit im Einzelnen:

Bei der Erforschung der Eigenschaften der Potenzfunktionen sollte man mit gut abgestimmten Wertetabellen arbeiten, um dieses Funktionen genau zeichnen zu können.

y-Werte (Funktionswerte)

...entstehen durch das Potenzieren mit dem entsprechenden Exponenten n bei \( y=x^n \).
Die zugehörigen x-Werte (Argumente) entstehen durch das Radizieren (Wurzel ziehen) mittels der n.-Wurzel für die entsprechenden Exponenten für \( y=x^n \) .

Achtung! Beim Radizieren gerader Exponenten y= x², \( y=x^4 \) usw. entstehen 2 Argumente x. \( \sqrt[4] 625 = \pm 5 \)

Allgemein gilt :
Die n.-Wurzel aus einer Zahl x ( \( \sqrt[n] x \) ) ist die Zahl y die n-mal mit sich multipliziert wieder die Zahl x (den Radikanten) ergibt.
\( \sqrt[n] x = y \) , wenn \( \underbrace{y \cdot y \cdot y … \cdot y}_{n { – mal}} \) = x

Beispiele:

\( \sqrt[3] 125 = 5 \) , denn \( \underbrace{5 \cdot 5 \cdot 5}_{3 { – mal}} \) = 125

\( \sqrt[4] 16 = 2 \) , denn \( \underbrace{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}_{4 { – mal}} \) = 16 aber auch \( \sqrt[4] 16 = -2 \) , denn \( \underbrace{(-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)}_{4 { – mal}} \) = 16

man schreibt kurz: \( \sqrt[4] 16 = \pm 2 \)

Wir untersuchen die Funktion y = x²

Wertetabelle für y = x² im Intervall (-3; 3) Schrittweite 0,5:

Durch das Potenzieren mit 2 , auch Quadrieren genannt, (x *x =x² ) werden alle Funktionswerte y positiviert.

Wir untersuchen die Funktion y = x³

Wertetabelle für y = x³ im Intervall (-3; 3) Schrittweite 0,5:

Durch das Potenzieren mit 3 (x *x*x =x³ ) behalten die Funktionswerte y das Vorzeichen des Argumentes x.

Weitere Vergleiche von Untergruppen:

Vergleicht man die Funktionen y=x² und y = \(x^4\), so stellt man fast, dass diese Funktionen zur selben Unterklasse gehören, jedoch kleine Unterschiede im Verlauf der Graphen sichtbar sind, die durch das Potenzieren der Argumente x verursacht werden.

Beispiel Quadrieren:

2² =4 aber 0,2² = 0,04

Quadrate von Zahlen größer als 1 sind größer als ihre Argumente.
5 < 5² =25 oder 12 < 12² =144
ABER:
Der Wert 0,2 – zwischen 0 und 1 gelegen – wird beim Potenzieren kleiner als das Argument.
0,2 > 0,2² =0,04 oder 0,05 > 0,05² = 0,0025

Für \(x^4\) ist dieser Effekt noch extremer!
Hier gilt:
2 < \(2^4\) = 16 ABER : 0,2 > \(0,2^4\) = 0,016

Dieser Effekt zeigt sich im Graph deutlich!

Hier findest du eine gute Zusammenfassung zu den 4 Unterarten im Video!