Zur Angabe von Entfernungen, Höhen, Längen oder Breiten nutzen wir in Deutschland, wie einige andere Länder das metrische System. Damit auch alle die selbe Vorstellung von „Meter“ nutzen, liegt das Urmeter in Paris unter Verschluss und kann für wissenschaftliche Zwecke benutzt werden. (Ein Podcast zur Geschichte des Längenmaßes findet man am Ende des Artikels..)
Die im Zehnersystem aufbauenden Maßeinheiten sind:
mm – Millimeter ; cm – Zentimeter ; dm – Dezimeter ; m – Meter ; dam – Dekameter ; hm – Hektometer , km – Kilometer
10 mm = 1cm
10cm = 1dm
10dm = 1m
10m = 1dam
10dam =1hm
10Hm = 1km
Die Umrechnungszahl für Längeneinheiten ist 10
Die selten genutzten Einheiten dam und hm sollte man unbedingt in der Reihenfolge lassen, da sich so die Logik der Umwandlungsschritte erhält.
Für die Umrechnungen gilt:
Anleitung zum Umrechnen:
Schreibe alle Einheiten geordnet von oben nach unten auf!
Notiere die gegebene Größe neben die gegebene Einheit.
Der Koeffizient a bewirkt bei a=2 eine Verdopplung der Funktionswerte. Jeder y-Wert wird also doppelt so groß und damit doppelt so hoch eingetragen.
Diesen Effekt nennt man Streckung des Graphen. Dieses Streckung findet man vor, wenn a > 1 ist.
Stauchung
Setzt man in die Funktion y = ax² für a Werte ein, die zwischen Null und 1 liegen ( 0<a<1 ), so beobachtet man eine Verkleinerung der Funktionswerte gegenüber den Funktionswerten der Funktion y = x²
$$ \textsf{Hier am Beispiel } y = \frac {1}{2}x² $$
Die Funktionen mit der Vorschrift y =xn oder genauer y = axn + c werden als Potenzfunktionen bezeichnet. Die Basis x ist hier die Variable(Argument) und der Exponent n ist eine ganze Zahl, die je nachdem ob sie positiv oder negativ und dabei jeweils noch gerade oder ungerade die Eigenschaften der Funktion prägen.
Die Potenzfunktionen haben achsensymmetrische bzw. punktsymmetrische Parabeln oder Hyperbeln als Graphen, die alle den Punkt (1|1) gemeinsam haben. Ihre charakteristischen Verläufe machen sie gut erkennbar und unterscheidbar.
y = axn + c Der Koeffizienta ist für Streckung, Stauchung und Spiegelung an der x-Achse verantwortlich und der Summand c beeinflusst die Verschiebung des Graphen der Funktion auf der y-Achse.
Wir unterscheiden 4 Unterarten der Potenzfunktionen:
n ist positiv und gerade
n ist positiv und ungerade
n ist negativ und gerade
n ist negativ und ungerade
\( y = x^2 \) oder \( y = x^4 \)
\( y = x^3 \) oder \( y = x^5\)
\( y = x^{-2} \) oder \( y = x^{-4} \)
\( y = x^{-1} \) oder \( y = x^{-3}\)
Die Graphen sind achsensymmetrische Parabeln.
Die Funktionen haben die Punkte (-1|1) , (0|0) und (1|1) gemeinsam.
Die Nullstelle ist (0|0).
Die Graphen sind punktsymmetrische Parabeln.
Die Funktionen haben die Punkte (-1|-1) , (0|0) und (1|1) gemeinsam.
Die Nullstelle ist (0|0).
Die Graphen sind achsensymmetrischeHyperbeln.
Die Funktionen haben die Punkte (-1|1) und (1|1) gemeinsam.
Eine Nullstelle existiert nicht.
Die Graphen sind punktsymmetrischeHyperbeln.
Die Funktionen haben die Punkte (-1|-1) und (1|1) gemeinsam.
Eine Nullstelle existiert nicht.
Die Monotoniewechselt am Scheitelpunkt. Für negative Argumente x∈ (-∞;0)fallend. Für positive Argumente x∈ (0;∞)steigend.
Für alle Argumente x ist die Funktion monoton steigend .
Die Monotonie wechselt an der y-Achse. Für negative Argumente x∈ (-∞;0) monotonsteigend. Für positive Argumente x∈ (0;∞) monoton fallend.
Für alle Argumente x mit x ≠ 0 sind diese Funktionen monoton fallend.
Nun zur grundsätzlichen Arbeit im Einzelnen:
Bei der Erforschung der Eigenschaften der Potenzfunktionen sollte man mit gut abgestimmten Wertetabellen arbeiten, um dieses Funktionen genau zeichnen zu können.
y-Werte (Funktionswerte)
...entstehen durch das Potenzieren mit dem entsprechenden Exponenten n bei \( y=x^n \). Die zugehörigenx-Werte (Argumente) entstehen durch das Radizieren (Wurzel ziehen) mittels der n.-Wurzel für die entsprechenden Exponenten für \( y=x^n \) .
Allgemein gilt : Die n.-Wurzel aus einer Zahl x ( \( \sqrt[n] x \) ) ist die Zahl y die n-mal mit sich multipliziert wieder die Zahl x (den Radikanten) ergibt. \( \sqrt[n] x = y \) , wenn \( \underbrace{y \cdot y \cdot y … \cdot y}_{n { – mal}} \) = x
Wertetabelle für y = x² im Intervall (-3; 3) Schrittweite 0,5:
Durch das Potenzieren mit 2 , auch Quadrieren genannt, (x *x =x² ) werden alle Funktionswerte y positiviert.
Wir untersuchen die Funktion y = x³
Wertetabelle für y = x³ im Intervall (-3; 3) Schrittweite 0,5:
Durch das Potenzieren mit 3 (x *x*x =x³ ) behalten die Funktionswerte y das Vorzeichen des Argumentes x.
Weitere Vergleiche von Untergruppen:
Vergleicht man die Funktionen y=x² und y = \(x^4\), so stellt man fast, dass diese Funktionen zur selben Unterklasse gehören, jedoch kleine Unterschiede im Verlauf der Graphen sichtbar sind, die durch das Potenzieren der Argumente x verursacht werden.
Beispiel Quadrieren:
2² =4 aber 0,2² = 0,04
Quadrate von Zahlen größer als 1 sind größer als ihre Argumente. 5 < 5² =25 oder 12 < 12² =144 ABER: Der Wert 0,2 – zwischen 0 und 1 gelegen – wird beim Potenzieren kleiner als das Argument. 0,2 > 0,2² =0,04 oder 0,05 > 0,05² = 0,0025
Für \(x^4\) ist dieser Effekt noch extremer! Hier gilt: 2 < \(2^4\) = 16 ABER : 0,2 > \(0,2^4\) = 0,016
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