Mit Hilfe der unten stehenden Formel, die man auch in jedem guten Tafelwerk findet, kann man Winkelmaß in Bogenmaße umwandeln und umgekehrt.
$$b= \frac {\alpha}{360°} *2\pi $$
Winkel und Bogenmaß im Taschenrechner
Unser Taschenrechner rechnet in der Voreinstellung mit Winkeln im Vollkreis von 360° DEG (..von Degree)
Mit dem Bogenmaß kann unser Taschenrechner auch rechnen. Dazu stellt man im Setup auf RAD (…Radiant) um.
Damit ist es nun auch möglich, die Sinus-Funktion unabhängig von der Winkelangabe im Koordinatensystem aufzutragen. Man erstellt eine Wertetabelle für y = f(b) = sin(b) , wobei nur noch reelle Zahlen benötigt werden. Das b wird durch x ersetzt und wir können wie bei Funktionen gewohnt schreiben:
$$ y = f(x) = sin (x) ; x\in R $$
Nun sind jedoch Werte der x-Achse wie 1 oder 2 oder 3 uninteressant, denn die Teile und Vielfachen von bestimmen das Aussehen und die Eigenschaften von y = sin (x)
[weiterarbeiten…]
Damit wird die sehr unübersichtliche Darstellung von Winkeln auf der x-Achse überflüssig!
Zeichne ein beliebiges Dreieck und miss seine Seiten und die 3 Innenwinkel.
Bilde nun jeweils die Quotienten $$\frac{Seite} {sin(zugehöriger Winkel)} $$
Du solltest feststellen, dass die Quotienten gleich groß sind!
Damit kann man diese Quotienten gleichsetzen.
Es entstehen 3 Verhältnisgleichungen!
Die 3 Sinussätze:
\( \frac{a}{sin \alpha} =\frac{b}{sin \beta} oder \frac{a}{sin \alpha} =\frac{c}{sin \gamma} oder \frac{b}{sin \beta} =\frac{c}{sin \gamma} \)
Experiment zum Sinus-Satz (Variante 2)
Es gilt:
\( \frac{a}{sin \alpha} =\frac{b}{sin \beta} oder \frac{a}{sin \alpha} =\frac{c}{sin \gamma} oder \frac{b}{sin \beta} =\frac{c}{sin \gamma} \)
„Mit 3 gegebenen Werten zu einem Dreieck, von denen 2 Werte ein Seite-Winkel-Paar darstellen, kann man eine 4. Größe errechnen und danach die restlichen beiden Größen des Dreiecks ermitteln!„
Tipp: Erarbeite Dir ein Beispiel einer „Seitenberechnung“ und eine Beispiel für eine „Winkelberechnung“!
Dieser Beitrag ist unvollständig und wird ständig bearbeitet und ergänzt. Sollten Sie Ideen und Anregungen haben, freue ich mich sehr auf Ihre Nachricht!
Grundrechnen
► Die Zahlenbereiche ► Kopfrechnen , das 1×1 , Vorgänger und Nachfolger, Lesen großer Zahlen , Runden auf 100–er, 1000–er .., ► Teilbarkeit, (Teiler, Teilbarkeitsregeln) ► Quadratzahlen ( und deren Wurzeln, 1 bis 20) ► schriftliches Rechnen (natürliche Zahlen, Dezimalzahlen, Potenzen) ► Exponentialschreibweise (scientific Notation) , ► rationale / ganze Zahlen (Grundrechenarten und Vorrangregeln) ► Terme aufstellen und Termwerte(Funktionswerte) berechnen
► benachbarte Einheiten , „Das Schema„ ► Umwandlungszahlen – in kleinere und größere Einheiten, „Wird die Einheit kleiner, wird die Zahl größer“ ► Angaben und Größen umschreiben , Zeitspannen, ungleiche Einheiten vereinen ► Große und kleine Zahlen umschreiben ( scientific Notation)
Flächen
► geometrische Begriffe und Grundformen ( Benennung, Bewegungen –Spiegeln und Verschieben– auch im KS) ►Grundwissen zu Winkeln ► Dreiecke (Arten nach Winkeln und Seiten , Kenngrößen – Linien, Winkel– , IWS, Dreiecksungleichungen ) ► Ähnlichkeit (zentrische Streckung an Flächen und Körpern, Anwendung: Strahlensätze) ► Pythagoras(Artikel) und erweiterte Trigonometrie (SINUS und KOSINUSSATZ mit Voraussetzungen) auch im KS ► Viereckarten, (Eigenschaften, Kennlinien und Kenngrößen an Vierecken, Winkel– und Seitenverhältnisse) ► Kreisund Kreisteile (Linien , Bogenmaß, Flächen, Schnittflächen) ► Vielecke und nicht geradlinig zusammengesetzte Flächen (Eigenschaften, typische Zerteilungen) ► Systematisierung Flächen, Strategie Flächenberechnung
Körper
► Darstellung von Körpern (Einzelansichten, Netz, Schrägbild, Seitenansichten, das „2–Tafel–Bild“ aka 2-Tafel-Projektion) ► Berechnung: Volumen(Volumen als \( V= A_G \cdot h \) , gerade und \( V= \frac{1}{3} \cdot A_G \cdot h \) für spitze Körper,) ► Berechnung: Oberfläche (immer mit Hilfsskizze Netz!) (auch die Vereinfachung von Oberflächenformeln zu Sonderformen) (Halbkörper und Schnitte) ► Masseberechnungen (auch Rückschlussrechnung: Masse -Volumen, Volumen- Masse) ► zusammengesetzte Körper , (Volumenaddition oder –subtraktion, Oberflächenänderung bei zus.ges. Kö.) ► Kennlinien an Körpern ( Trigonometrie, wichtige Linien und Winkel an und in Körpern)
Prozent und Zins
► Dreisatz, Anteile von Größen ► Prozentzahl als Bruch und Dezimalzahl (Umwandlungen, Darstellung) ► bequeme Prozentsätze (50%, 20%, 10%, 25%, 75%, 33,3% (Kopfrechnen) ► Grundaufgaben der Prozentrechnung (Erkennen von G,W,p ) , (auch: erhöhte sich „um“ … , erhöhte sich „auf“ …) erhöhter und verminderter Grundwert (Rabatt, Skonto, Mehrwertsteuer) ► Diagramme lesen/auswerten , erstellen, kritisch betrachten (Regeln für gute Diagramme) (Balken-, Linien-, Kreisdiagramm, Streifendiagramm(Prozentstreifen), weitere Arten,) ► Zinsrechnung (Kapital, Zins, Zinssatz, Monats- und Tageszins, Zinseszins, Kredit, Rückzahlung, Ratenzahlung)
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