Kategorie: natürliche Zahlen

Die Mittelwerte – statistische Kenngrößen

Kenngrößen, wie die Spannweite, das Maximum, das Minimum oder auch den Mittelwert (Durchschnitt) benutzt man um grundlegende Aussagen über eine Datenreihe zu machen.

Wie aber lassen sich Aussagen über die verschiedenen Arten von Datenreihen machen?

Reihe 1: Hamburg, Berlin, München, Hamburg, München, Berlin, Berlin, Hamburg
Reihe 2: gut, geht so, gut, sehr gut, gut, gut, sehr gut
Reihe 3: 3, 5, 6, 3, 8, 7, 56, 4, 3

Zentralwert / Median xmed. 

    ist der mittlere Wert einer sortierten  (geordneten) Reihe!

Sollte die Reihe eine gerade Anzahl von Gliedern also keine Mitte haben, so wird das arithmetische Mittel aus den beiden mittleren Gliedern dieser geordneten Reihe gebildet!

► der Zentralwert ist robust gegen Ausreißer

►   der Zentralwert ist nützlich bei ordinal (Wertungen : gut, sehr gut … ) skalierten Reihen

Datenreihe: 15, 4, 9, 11, 2, 7, 9, 10, 5 Die Datenreihe enthält 9 Elemente(Daten).
Sie ist numerisch skaliert.(…enthält Zahlen)
Ordnen der Daten 2, 4, 5, 7,9,9,10,11,15 Kommafreie Zahlen können durch Kommata getrennt
werden, sonst hilft hier das Semikolon(;)
Mitte der Datenreihe finden 2, 4, 5, 7,9,9,10,11,15







Datenzahl 9

Mitte finden:

(9+1) : 2=5

5. Wert ist Zentralwert!
Bei übersichtlichen Datenreihen wird die Mitte abgezählt,
ansonsten gilt die Regel:

Datenzahl gerade :
►Datenzahl geteilt durch 2,
Dieses Element und sein Folgewert sind die Mitte und der
Zentralwert muss als arithmetische Mittel der beiden Werte gebildet werden!

Datenzahl ungerade:
► (Datenzahl +1 ) geteilt durch 2
Dieses Element ist die Mitte und damit der Zentralwert!

Hier:
9 Daten: ungerade also … 9 Daten plus 1 = 10
10 geteilt durch 2 ergibt 5

die Mitte bildet also 5. Wert
Zentralwert ermitteln5. Wert der geordneten Reihe 9

Der Durchschnitt oder das arithmetisches Mittel xarith.  

      Summe aller Werte der Reihe dividiert durch die Anzahl der Reihenglieder!

Addiere alle Zahlen(Daten) der Reihe und teile diese Summe dann durch die Anzahl der addierten Zahlen(Daten)!

►    das arithmetische Mittel ist anfällig gegen Ausreißer(sehr große oder kleine Abweichler)

►    das arithmetische Mittel ist sehr nützlich bei metrisch (zahlenorientiert) skalierten Reihen

Datenreihe 2, 8, 14, 5, 7, 11

Datenreihe enthält 6 Zahlen.
Zähle die Werte der Datenreihe

Die Datenreihe muss nicht geordnet werden!
Werte der
Datenreihe addieren		2+8+14+5+7+11=47
Summiere alle Werte der Datenreihe
Mittelwert finden47 : 6 = 7,83

Das arithmetische Mittel beträgt 7,83.

Berechne den Quotienten:

\( \frac{Summe der Daten}{Anzahl der Daten} \)

Modalwert(Modus) xmod         

     Wert mit der größten Häufigkeit in einer Reihe!

Gibt es mehrere Merkmalsausprägungen mit der gleichen maximalen Häufigkeit, so existiert kein Modalwert.
Dieser Mittelwert beschreibt auch Reihen, in denen keine Berechnung im eigentlichen Sinne möglich ist!
(Worturteile, wie  Lieblingsfarben, …)

► der Modalwert ist für nominal( Hamburg, Berlin …)  oder ordinal (s.o.) skalierte Reihen geeignet

Datenreiherot, blau, gelb, gelb, rot, blau, rot, blau, gelb, gelb, rot, blau, schwarz, blau, gelb, rot, rot Die Datenreihe muss
nicht geordnet werden.

Sie wird ausgezählt …
Notiere die verschiedenen
Werte der Reihe
rot
gelb
blau
schwarz

Verschaffe dir einen Überblick
über die enthaltenen Werte.
Zähle die Häufigkeiten
——————————-
rot: 6mal
gelb: 6 mal
blau: 5 mal
schwarz: 1 mal
——————————–

Zähle die Häufigkeit jedes einzelnen
der verschiedenen enthaltenen Werte.
Modalwert benennenRot und Gelb sind Modalwert der Reihe Nenne die Werte mit der höchsten Häufigkeit
(Es können auch mehrere Werte der Modalwert der Reihe sein!)

Arbeitsblatt mit Beispielen (ungelöst) tzu diesen Kenngrößen:

AB_statistische_Kenngr_MittelwerteHerunterladen

Videos zur Erklärung dieser statistischen Kenngrößen:

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Maßstäbe

AB_Rechnen-mit-Massstaeben_2020Herunterladen

Wir erstellen Modelle, um uns die Details besser zu veranschaulichen. Einige Modelle entstehen durch Vergrößern, andere durch Verkleinern. Im Folgenden findest Du Beispiele für unsere Kreativität.

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Die älteste Landkarte ist die Darstellung eines Dorfes 6200 v.Chr. mit der Einzeichnung von Häusern und Straßen. Die Darstellung der Welt begann man um 500 v.Chr., wobei schon mathemaitsche Verfahren und Vermessungen genutzt wurden. erst im 16. Jahrhundert entstanden die ersten Atlanten. Die Kartographie wurde durch die Entdeckung Amerikas und die Erforschung Asiens vorangetrieben. Abraham Ortelius gab 1570 einen bedeutenden Atlas mit 70 Karten heraus.

Heute wird weltweit und auch in Deutschland die Kartographie vom Staat organisiert und so werden frei zugänglich aktuelle Karten im Maßstab 1:200.000 bereitgestellt.
Google Maps und die Entwicklung des GPS Systems haben die Kartographie weit vorangetrieben und zur Selbstverständlichkeit gemacht.

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Modelleisenbahnen erfreuen sich großer Beliebtheit. Die Schienenfahrzeuge werden in verschiedenen Verkleinerungsmaßstäben angeboten. H0 - "H Null" Fahrzeuge sind im Maßstab 1:87 dargestellt. TT Bahnen sind 1:120 verkleinert.

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Viele Modellbauer arbeiten an Gebäuden oder technischen Geräten. Dabei versuchen sie besonders technische Museumsstücke zu bewahren, die die Entwicklung der Technik aufzeigen. Windmühlen sind heute noch ein Highlight in der Landschaft, hatten früher jedoch eine lebenswichtige Bedeutung für die Menschen. Der Müller und seine Mühle gehörtenzu jeder ländlichen Lebensgemeinschaft.

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Seit 1953 verkaufte man Automodelle als Spielzeug in kleinen Boxen, die wie Streichholzschachteln aussahen. "Matches" ...die Streichhölzer gaben ihnen ihren Namen. Bis heute erzielen diese kleinen Meisterwerke Höchstpreise unter Sammlern. Die Matchbox- Autos wurden oft im Maßstab 1:64 dargestellt.

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Für architektonische Entwürfe und Demonstrationsmodelle für Anlagen und Bauwerke werden auch heute noch Modelle entworfen. So lässt sich ein ganzes Stadtzentrum übersichtlich darstellen und planen, wenn man die Bestandteile, wie im Sandkasten testweise hin und herschieben kann. Der Maßstab 1:1000 macht aus einem 20m langen Gebäude ein 2cm langes Modell.

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Baupläne sind neben Landkarten die wohl bekannteste Anwendung von Verkleinerung in unserem täglichen Leben. So schrumpfen die Pläne für eine Bauvorhaben schnell auf Schreibtischgröße. Die Räume werden dann oft in 1:10 dargestellt. Aber auch Grundstückspläne in 1:100 sind üblich.

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Das Puppenhaus ist beliebt wie eh und je. Die detailgetreue Darstellung erfolgte oft im Maßstab 1:12 oder auch 1:20. Die Puppe eines Erwachsenen 1,80m großen Mannes wäre bei 1:12 dann 15cm hoch.Und eine 26cm hohe Milchflasche hätte dann eine Höhe von...?

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Modelle des menschlichen Körpers werden zu Unterrichtszwecken oft im Maßstab 1:1 dargestellt, da sie so zum besseren Verständnis beitragen. Einige wenige Organe wie das Auge findet man in der Schule auch als Vergrößerungsmodelle im Maßstab 10 : 1. Ebenso verhält es sich mit Pflanzenteilen wie Blüten, sie werden zu unserem besseren Verständnis vergrößert.

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Aus Urlaubsorten sind sie nicht mehr wegzudenken. Teleskope, die uns weit entfernte Objekte "näher" bringen. Hat das einfache Opernglas noch eine Vergrößerung vom Faktor 3, so liefern gute Ferngläser Vergrößerungen im Maßstab 50:1 und mehr.

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Als Galileo Galilei 1608 das erste Teleskop entwickelte konnte er nicht ahnen, dass 400 Jahre später diese Nachfahren seines "Fernrohres" tief in den Weltraum "schauen".
Heute nutzen wir neben anderen Varianten zum Beispiel große Spiegelteleskope, die gestochen scharfe Bilder aus den Tiefen des Weltraumes liefern.

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Während man mit Teleskopen in die Ferne schaut, holen uns die Mikroskope winzige Objekte ins Licht, die wir ebenso ohne diese Vergrößerung nicht sehen würden. Das Mikroskop wurde um 1600 in den Niederlanden entwickelt. Seit dem nutzen wir Lichtmikroskope, die uns Vergrößerungen 5.000:1 und ein wenig mehr liefern. Moderne Mikroskope arbeiten mit Strahlung, die die Oberfläche eines Objektes abtastet. Dadurch entstehen Bilder, die uns sogar erlauben eine aus Atomen bestehende Oberfläche darzustellen. Das entspricht Vergrößerungen von ca. 1.000.000 :1 .

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Besprecht, in welchen Fällen wir die Wirklichkeit vergrößern und in welchen Fällen wir sie verkleinern!

Der Maßstab ist das Verhältnis, in dem diese Darstellung passiert.
Er ist definiert als das:

Verhältnis einer Länge auf der Karte zu ihrer Entsprechung in der Natur.

Wenn du weißt, welche Darstellung benutzt wurde, hast du schon gewonnen. Denn Du wirst immer Aufgaben gestellt bekommen, in denen nur eine der 4 Größen der Gleichungen fehlt.

Anleitung:
Hier geht es immer um Aufgaben mit 3 gegebenen Größen für die Gleichung:

1. Finde die gegebenen Größen!
2. Sorge für Einheitengleichheit! (Bei mehreren Einheiten)
3. Füge die gegebenen Größe in die richtige Gleichung ein und stelle die Gleichung nach der gesuchten Größe um!

Beispiele:

Aufgabe 1:

Herr Meier möchte einen Plan von seinem Haus zeichnen. Er weiß, dass sein Wohnzimmer 7m lang ist und der Plan einen Maßstab von 1:100 haben soll. Wie lang muss das Wohnzimmer in seinem Plan sein?

Finde die gegebenen Größen!

gegeben:
Zeichnung Haus (Verkleinerung)
Maßstab 1 : 100
7m Wohnzimmerlänge (Originalmaß)

Sorge für Einheitengleichheit!

Hier unnötig! Die Einheit ist nur Meter!

Füge die gegebenen Größe in die richtige Gleichung ein und stelle die Gleichung nach der gesuchten Größe um!

Verkleinerung, also …

\( \frac{1}{k} = \frac{Bildmaß}{Originalmaß} \)

Einsetzen der Größen:

\( \frac{1}{100} = \frac{Bildmaß}{7m} | \cdot 7m \)

Isolieren der gesuchten Größe … Die Angabe „7m“ im Nenner stört…
Also,… multiplizieren beider Seiten mit 7m

\( \frac{7m}{100} = Bildmaß \)

\( 0,07m = Bildmaß = 7cm \)

Antwortsatz:
Die Länge des Wohnzimmers auf der Zeichnung beträgt 7cm.

Aufgabe 2:

Welche Höhe hat ein Hochofen, wenn sein Modell im Maßstab 1:2000 nur 32mm hoch ist?

Finde die gegebenen Größen!

gegeben:
Modell Hochofen (Verkleinerung)
Maßstab 1 : 2000
32mm Höhe des Modells (Bildmaß)

Verkleinerung, also …

\( \frac{1}{k} = \frac{Bildmaß}{Originalmaß} \)

Einsetzen der Größen:

\( \frac{1}{2000} = \frac{32mm}{Originalmaß} \)

Die gesuchte Größe steht unten!
Auf beiden Seiten der Gleichung muss der Kehrwert gebildet werden! (Reziprok bilden!)

\( \frac{2000}{1} = \frac{Originalmaß}{32mm} | \cdot 32mm\)

Isolieren der gesuchten Größe … Die Angabe „32mm“ im Nenner stört…
Also,… multiplizieren beider Seiten mit 32mm

\( 32mm \cdot 2000 = Originalmaß \)

\( 64.000mm = Originalmaß = 64m \)

Antwortsatz:
Die Hochofenhöhe beträgt in der Wirklichkeit 64m.

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