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Kategorie: natürliche Zahlen
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Die Mittelwerte – statistische Kenngrößen
Kenngrößen, wie die Spannweite, das Maximum, das Minimum oder auch den Mittelwert (Durchschnitt) benutzt man um grundlegende Aussagen über eine Datenreihe zu machen.
Wie aber lassen sich Aussagen über die verschiedenen Arten von Datenreihen machen?
Reihe 1: Hamburg, Berlin, München, Hamburg, München, Berlin, Berlin, Hamburg
Reihe 2: gut, geht so, gut, sehr gut, gut, gut, sehr gut
Reihe 3: 3, 5, 6, 3, 8, 7, 56, 4, 3
Zentralwert / Median xmed.
ist der mittlere Wert einer sortierten (geordneten) Reihe!
Sollte die Reihe eine gerade Anzahl von Gliedern also keine Mitte haben, so wird das arithmetische Mittel aus den beiden mittleren Gliedern dieser geordneten Reihe gebildet!
► der Zentralwert ist robust gegen Ausreißer
► der Zentralwert ist nützlich bei ordinal (Wertungen : gut, sehr gut … ) skalierten Reihen
| Datenreihe: | 15, 4, 9, 11, 2, 7, 9, 10, 5 | Die Datenreihe enthält 9 Elemente(Daten). Sie ist numerisch skaliert.(…enthält Zahlen) |
| Ordnen der Daten | 2, 4, 5, 7,9,9,10,11,15 | Kommafreie Zahlen können durch Kommata getrennt werden, sonst hilft hier das Semikolon(;) |
| Mitte der Datenreihe finden | 2, 4, 5, 7,9,9,10,11,15 Datenzahl 9 Mitte finden: (9+1) : 2=5 5. Wert ist Zentralwert! | Bei übersichtlichen Datenreihen wird die Mitte abgezählt, ansonsten gilt die Regel: Datenzahl gerade : ►Datenzahl geteilt durch 2, Dieses Element und sein Folgewert sind die Mitte und der Zentralwert muss als arithmetische Mittel der beiden Werte gebildet werden! Datenzahl ungerade: ► (Datenzahl +1 ) geteilt durch 2 Dieses Element ist die Mitte und damit der Zentralwert! Hier: 9 Daten: ungerade also … 9 Daten plus 1 = 10 10 geteilt durch 2 ergibt 5 die Mitte bildet also 5. Wert |
| Zentralwert ermitteln | 5. Wert der geordneten Reihe 9 |
Der Durchschnitt oder das arithmetisches Mittel xarith.
Summe aller Werte der Reihe dividiert durch die Anzahl der Reihenglieder!
Addiere alle Zahlen(Daten) der Reihe und teile diese Summe dann durch die Anzahl der addierten Zahlen(Daten)!
► das arithmetische Mittel ist anfällig gegen Ausreißer(sehr große oder kleine Abweichler)
► das arithmetische Mittel ist sehr nützlich bei metrisch (zahlenorientiert) skalierten Reihen
| Datenreihe | 2, 8, 14, 5, 7, 11 Datenreihe enthält 6 Zahlen. | Zähle die Werte der Datenreihe Die Datenreihe muss nicht geordnet werden! |
| Werte der Datenreihe addieren | 2+8+14+5+7+11=47 | Summiere alle Werte der Datenreihe |
| Mittelwert finden | 47 : 6 = 7,83 Das arithmetische Mittel beträgt 7,83. | Berechne den Quotienten: \( \frac{Summe der Daten}{Anzahl der Daten} \) |
Modalwert(Modus) xmod
Wert mit der größten Häufigkeit in einer Reihe!
Gibt es mehrere Merkmalsausprägungen mit der gleichen maximalen Häufigkeit, so existiert kein Modalwert.
Dieser Mittelwert beschreibt auch Reihen, in denen keine Berechnung im eigentlichen Sinne möglich ist!
(Worturteile, wie Lieblingsfarben, …)
► der Modalwert ist für nominal( Hamburg, Berlin …) oder ordinal (s.o.) skalierte Reihen geeignet
| Datenreihe | rot, blau, gelb, gelb, rot, blau, rot, blau, gelb, gelb, rot, blau, schwarz, blau, gelb, rot, rot | Die Datenreihe muss nicht geordnet werden. Sie wird ausgezählt … |
| Notiere die verschiedenen Werte der Reihe | rot gelb blau schwarz | Verschaffe dir einen Überblick über die enthaltenen Werte. |
| Zähle die Häufigkeiten | ——————————- rot: 6mal gelb: 6 mal blau: 5 mal schwarz: 1 mal ——————————– | Zähle die Häufigkeit jedes einzelnen der verschiedenen enthaltenen Werte. |
| Modalwert benennen | Rot und Gelb sind Modalwert der Reihe | Nenne die Werte mit der höchsten Häufigkeit (Es können auch mehrere Werte der Modalwert der Reihe sein!) |
Arbeitsblatt mit Beispielen (ungelöst) tzu diesen Kenngrößen:
Videos zur Erklärung dieser statistischen Kenngrößen:
Maßstäbe
Wir erstellen Modelle, um uns die Details besser zu veranschaulichen. Einige Modelle entstehen durch Vergrößern, andere durch Verkleinern. Im Folgenden findest Du Beispiele für unsere Kreativität.
Besprecht, in welchen Fällen wir die Wirklichkeit vergrößern und in welchen Fällen wir sie verkleinern!
Der Maßstab ist das Verhältnis, in dem diese Darstellung passiert.
Er ist definiert als das:
Verhältnis einer Länge auf der Karte zu ihrer Entsprechung in der Natur.
Wenn du weißt, welche Darstellung benutzt wurde, hast du schon gewonnen. Denn Du wirst immer Aufgaben gestellt bekommen, in denen nur eine der 4 Größen der Gleichungen fehlt.
Anleitung:
Hier geht es immer um Aufgaben mit 3 gegebenen Größen für die Gleichung:
1. Finde die gegebenen Größen!
2. Sorge für Einheitengleichheit! (Bei mehreren Einheiten)
3. Füge die gegebenen Größe in die richtige Gleichung ein und stelle die Gleichung nach der gesuchten Größe um!
Beispiele:
Aufgabe 1:
Herr Meier möchte einen Plan von seinem Haus zeichnen. Er weiß, dass sein Wohnzimmer 7m lang ist und der Plan einen Maßstab von 1:100 haben soll. Wie lang muss das Wohnzimmer in seinem Plan sein?
Finde die gegebenen Größen!
gegeben:
Zeichnung Haus (Verkleinerung)
Maßstab 1 : 100
7m Wohnzimmerlänge (Originalmaß)
Sorge für Einheitengleichheit!
Hier unnötig! Die Einheit ist nur Meter!
Füge die gegebenen Größe in die richtige Gleichung ein und stelle die Gleichung nach der gesuchten Größe um!
Verkleinerung, also …
\( \frac{1}{k} = \frac{Bildmaß}{Originalmaß} \)
Einsetzen der Größen:
\( \frac{1}{100} = \frac{Bildmaß}{7m} | \cdot 7m \)
Isolieren der gesuchten Größe … Die Angabe „7m“ im Nenner stört…
Also,… multiplizieren beider Seiten mit 7m
\( \frac{7m}{100} = Bildmaß \)
\( 0,07m = Bildmaß = 7cm \)
Antwortsatz:
Die Länge des Wohnzimmers auf der Zeichnung beträgt 7cm.
Aufgabe 2:
Welche Höhe hat ein Hochofen, wenn sein Modell im Maßstab 1:2000 nur 32mm hoch ist?
Finde die gegebenen Größen!
gegeben:
Modell Hochofen (Verkleinerung)
Maßstab 1 : 2000
32mm Höhe des Modells (Bildmaß)
Verkleinerung, also …
\( \frac{1}{k} = \frac{Bildmaß}{Originalmaß} \)
Einsetzen der Größen:
\( \frac{1}{2000} = \frac{32mm}{Originalmaß} \)
Die gesuchte Größe steht unten!
Auf beiden Seiten der Gleichung muss der Kehrwert gebildet werden! (Reziprok bilden!)
\( \frac{2000}{1} = \frac{Originalmaß}{32mm} | \cdot 32mm\)
Isolieren der gesuchten Größe … Die Angabe „32mm“ im Nenner stört…
Also,… multiplizieren beider Seiten mit 32mm
\( 32mm \cdot 2000 = Originalmaß \)
\( 64.000mm = Originalmaß = 64m \)
Antwortsatz:
Die Hochofenhöhe beträgt in der Wirklichkeit 64m.