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Maßstäbe

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Wir erstellen Modelle, um uns die Details besser zu veranschaulichen. Einige Modelle entstehen durch Vergrößern, andere durch Verkleinern. Im Folgenden findest Du Beispiele für unsere Kreativität.

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Die älteste Landkarte ist die Darstellung eines Dorfes 6200 v.Chr. mit der Einzeichnung von Häusern und Straßen. Die Darstellung der Welt begann man um 500 v.Chr., wobei schon mathemaitsche Verfahren und Vermessungen genutzt wurden. erst im 16. Jahrhundert entstanden die ersten Atlanten. Die Kartographie wurde durch die Entdeckung Amerikas und die Erforschung Asiens vorangetrieben. Abraham Ortelius gab 1570 einen bedeutenden Atlas mit 70 Karten heraus.

Heute wird weltweit und auch in Deutschland die Kartographie vom Staat organisiert und so werden frei zugänglich aktuelle Karten im Maßstab 1:200.000 bereitgestellt.
Google Maps und die Entwicklung des GPS Systems haben die Kartographie weit vorangetrieben und zur Selbstverständlichkeit gemacht.

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Besprecht, in welchen Fällen wir die Wirklichkeit vergrößern und in welchen Fällen wir sie verkleinern!

Der Maßstab ist das Verhältnis, in dem diese Darstellung passiert.
Er ist definiert als das:

Verhältnis einer Länge auf der Karte zu ihrer Entsprechung in der Natur.

Wenn du weißt, welche Darstellung benutzt wurde, hast du schon gewonnen. Denn Du wirst immer Aufgaben gestellt bekommen, in denen nur eine der 4 Größen der Gleichungen fehlt.

Anleitung:
Hier geht es immer um Aufgaben mit 3 gegebenen Größen für die Gleichung:

1. Finde die gegebenen Größen!
2. Sorge für Einheitengleichheit! (Bei mehreren Einheiten)
3. Füge die gegebenen Größe in die richtige Gleichung ein und stelle die Gleichung nach der gesuchten Größe um!

Beispiele:

Aufgabe 1:

Herr Meier möchte einen Plan von seinem Haus zeichnen. Er weiß, dass sein Wohnzimmer 7m lang ist und der Plan einen Maßstab von 1:100 haben soll. Wie lang muss das Wohnzimmer in seinem Plan sein?

Finde die gegebenen Größen!

gegeben:
Zeichnung Haus (Verkleinerung)
Maßstab 1 : 100
7m Wohnzimmerlänge (Originalmaß)

Sorge für Einheitengleichheit!

Hier unnötig! Die Einheit ist nur Meter!

Füge die gegebenen Größe in die richtige Gleichung ein und stelle die Gleichung nach der gesuchten Größe um!

Verkleinerung, also …

\( \frac{1}{k} = \frac{Bildmaß}{Originalmaß} \)

Einsetzen der Größen:

\( \frac{1}{100} = \frac{Bildmaß}{7m} | \cdot 7m \)

Isolieren der gesuchten Größe … Die Angabe „7m“ im Nenner stört…
Also,… multiplizieren beider Seiten mit 7m

\( \frac{7m}{100} = Bildmaß \)

\( 0,07m = Bildmaß = 7cm \)

Antwortsatz:
Die Länge des Wohnzimmers auf der Zeichnung beträgt 7cm.

Aufgabe 2:

Welche Höhe hat ein Hochofen, wenn sein Modell im Maßstab 1:2000 nur 32mm hoch ist?

Finde die gegebenen Größen!

gegeben:
Modell Hochofen (Verkleinerung)
Maßstab 1 : 2000
32mm Höhe des Modells (Bildmaß)

Verkleinerung, also …

\( \frac{1}{k} = \frac{Bildmaß}{Originalmaß} \)

Einsetzen der Größen:

\( \frac{1}{2000} = \frac{32mm}{Originalmaß} \)

Die gesuchte Größe steht unten!
Auf beiden Seiten der Gleichung muss der Kehrwert gebildet werden! (Reziprok bilden!)

\( \frac{2000}{1} = \frac{Originalmaß}{32mm} | \cdot 32mm\)

Isolieren der gesuchten Größe … Die Angabe „32mm“ im Nenner stört…
Also,… multiplizieren beider Seiten mit 32mm

\( 32mm \cdot 2000 = Originalmaß \)

\( 64.000mm = Originalmaß = 64m \)

Antwortsatz:
Die Hochofenhöhe beträgt in der Wirklichkeit 64m.

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