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Die gebrochenen Zahlen \( \Bbb Q + \)

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Die Gebrochene Zahlen \( \Bbb Q + \) sind die Menge aller Zahlen, die sich als Bruch darstellen lassen.
Dabei wird die Darstellung als gemeiner Bruch ( \( \frac{3}{4} \) ) oder als Dezimalbruch ( 0,723 ) verwendet.

Für die gebrochenen Zahlen gilt:

\( \bullet \) Die kleinste Zahl ist Null.

\( \bullet \) Zwischen Null und 1 gibt es unendlich viele Zahlen \( \rightarrow \) der Zahlenraum ist „dicht“.

\( \bullet \)Zwischen scheinbar benachbarte Zahlen (1,55 und 1,56) kann
man durch Anhängen einer Kommastelle immer wieder neue Zahlen bilden!

1,55     \( \rightarrow \) 1,551 | 1,552 … \( \leftarrow \)   1,56

2,000  \( \rightarrow \) 2,0001 | 2,0002 … \( \leftarrow \)     2,001

Ordnen der Zahlen

Die Zahl, die auf dem Zahlenstrahl weiter rechts steht, ist die größere Zahl!

Verwandtes Thema: Brüche am Zahlenstrahl

Vergleichen der Zahlen – Dezimalzahlen

Zahlen werden beim Vergleich stellengerecht verglichen!

Dazu werden die Zahlen zuerst durch angehängte Nullen auf die gleiche Anzahl Kommastellen gebracht!

Nun haben alle Pärchen die gleiche Anzahl Kommastellen und können von vorn(!) nach hinten
Stelle für Stelle verglichen werden!

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Die Zahlenbereiche

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Zuerst lernen wir zählen, in dem wir mit Null beginnen und fortlaufend hochzählen mit 1, 2, 3, 4, 5, 6 und so weiter. Dass zwischen den Zahlen „Lücken“ bestehen, ist uns anfangs nicht bewusst. Schnell merkt man jedoch bei der Angabe von Geld oder Zeiten, Weiten und Höhen im Sport, dass da noch mehr sein muss.

Zur Unterscheidung der Arten von Zahlen kann man sich die Zahlen als Mengen vorstellen. So enthält die Menge aller natürlichen Zahlen( \(\Bbb N \) ) die Null und alle folgenden mit dem jeweiligen Abstand Eins.
( \(\Bbb N \) )={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9…}
Die Null – und alle anderen natürlichen Zahlen – gehört allerdings auch zu den gebrochenen Zahlen ( \(\Bbb Q + \) ), also den positiven Brüchen. Das Mengendiagramm zeigt dieses Verhältnis. Dabei werden die Zahlenmengen als Ellipsen veranschaulicht.

Man schreibt:
\(\Bbb N \) < \(\Bbb Q + \) oder besser \(\Bbb N \subset \Bbb Q + \)

Da es gebrochene Zahlen( \( \frac{3}{4} \) oder 0,72 ) gibt, die keine natürlichen Zahlen sind, muss die Menger der gebrochenen Zahlen größer sein, als die Menge der natürlichen Zahlen.

Die Menge der natürlichen Zahlen ist eine Teilmenge der gebrochenen Zahlen \(\Bbb N \subset \Bbb Q + \)

Weitere Zahlenbereiche sind beispielsweise die rationalen Zahlen \(\Bbb Q \), die ganzen Zahlen ( \(\Bbb Z \) ) und die reellen Zahlen ( \(\Bbb R \) ).

Eine gute Übersicht dazu findest du hier.

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