Kategorie: Grundwissen

Die Scheitelpunktform der quadratischen Funktion

y = (x+d)² +e

Schau dir den Einfluss von d(blau) und e(grün) im folgenden Plotterfenster an.

Autor: Eckerts, geogebra.org

Stell für d = 2 ein und wähle für e = – 3. Lies den Scheitelpunkt ab und notiere ihn!
Verfahre mit einigen ganzzahligen Beispielen ebenso.

deS
2-1
-42
3-4
-12

Die Form y = (x+d)² + e heißt Scheitelpunktsform, da der Scheitelpunkt mit seinen Koordinaten -d und e schon in der Vorschrift enthalten ist..

Der Scheitelpunkt dieser Funktion liegt bei S(-d|e)
Der Graph ist immer eine Normalparabel.

Hier noch mal ein voreingestellter Plotter auf www.desmos.com

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Die quadratische Funktion y=ax²

Der Koeffizient(Faktor) a für zu einer Streckung oder Stauchung der Normalparabel der Funktion y=x². Ist der Faktor zudem noch negativ, so bedeutet dies die Spiegelung des Graphen an der x-Achse(Abzisse).

y=ax² mit a>1 führen zur Streckung des Graphen Beispiele hier sind y = 2x² oder y = 5,7x²

Die Normalparabel y = x² ist hier rot dargestellt.

y=ax² mit a<1 führen zur Stauchung des Graphen Beispiele hier sind y = 0,5x² oder y = 0,07x²

Die Normalparabel y = x² ist hier rot dargestellt.

Setzt man für a negative Werte ein, so entsteht ein Graph, der im 3. und 4. Quadranten verläuft und nach unten geöffnet ist.

Die rot gezeichnete Funktion heißt y = – x².

Klick in das untere Fenster um auf desmos.com mit dem REGLER für a die unterschiedlichen Effekte auf den Funktionsgraph von y= ax² auszuprobieren.

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Die quadratische Funktion y=x²

Die quadratische Funktion y=x²

Die Funktion y=x² besitzt einen achsensymmetrischen Graphen, der den Scheitelpunkt (0|0) besitzt. Die Nullstelle der Funktion liegt ebenfalls bei (0|0) im Koordinatenursprung.

Die Funktion fällt im Intervall (-∞ ; 0 ) und steigt im Intervall (0 ; ∞).

Die Wertetabelle:

x-3-2-10123
y=x²(-3)*(-3) = 9(-2)*(-2) = 4(-1)*(-1)=10*0= 01*1=12*2=43*3=9

Der Graph der Funktion im Intervall (-2,8 ; 2,8)

Bearbeite die Funktion bei www.desmos.com

Das Intervall (0;1) zeigt den nichtlinearen Verlauf der quadratischen Funktion y=x².
Hier wachsen die Argumente zuerst schneller an als die Funktionswerte. Dies kehrt sich jedoch alsbald um. Im Punkt (1|1) sind Argument und Funktionswert gleich groß. Oberhalb des Argumentes 1 nehmen dann die Funktionswerte rasant zu.

xquadrat_intervall0_1
quadratischeFKT_punkte01
quadratischeFKT_punkte01_steig
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Der Sinussatz

Erklärung im Selbstversuch…

  1. Zeichne ein beliebiges Dreieck und miss seine Seiten und die 3 Innenwinkel.
  2. Bilde nun jeweils die Quotienten $$\frac{Seite} {sin(zugehöriger Winkel)} $$
  3. Du solltest feststellen, dass die Quotienten gleich groß sind!
  4. Damit kann man diese Quotienten gleichsetzen.
  5. Es entstehen 3 Verhältnisgleichungen!
  6. Die 3 Sinussätze:

\( \frac{a}{sin \alpha} =\frac{b}{sin \beta} oder \frac{a}{sin \alpha} =\frac{c}{sin \gamma} oder \frac{b}{sin \beta} =\frac{c}{sin \gamma} \)

Experiment zum Sinus-Satz (Variante 2)

Es gilt:

\( \frac{a}{sin \alpha} =\frac{b}{sin \beta} oder \frac{a}{sin \alpha} =\frac{c}{sin \gamma} oder \frac{b}{sin \beta} =\frac{c}{sin \gamma} \)

„Mit 3 gegebenen Werten zu einem Dreieck, von denen 2 Werte ein Seite-Winkel-Paar darstellen, kann man eine 4. Größe errechnen und danach die restlichen beiden Größen des Dreiecks ermitteln!„

Tipp: Erarbeite Dir ein Beispiel einer „Seitenberechnung“ und eine Beispiel für eine „Winkelberechnung“!

Beispielrechnung:

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1 … 135 136 137 138 139 … 147