Winkel am rechtwinkligen Dreieck -sin, cos, tan

Für diese Lektion solltest Du unbedingt die Umstellung von Formeln und Gleichungen beherrschen!

Im Dreieck liegt dem kleinsten Winkel die kürzeste Seite gegenüber.
Dem größten Winkel liegt die längste Seite gegenüber!

Im rechtwinkligen Dreieck gibt es 2 spitze Winkel.

Für diese spitzen Winkel gilt:

Ein Schenkel des Winkels ist die Hypotenuse des Dreiecks.

Der andere Schenkel wird Ankathete (AK) des Winkles genannt!

Die dem Winkel gegenüberliegende Seite ist eine Kathete. Sie wird Gegenkathete (GK) des Winkels genannt!

Für Alpha sind hier die Schenkel die Hypotenuse und die Seite b, damit ist Seite b auch die Ankathete.
Für Beta sind die Hypotenuse und die Seite a die Schenkel, damit ist Seite a die Ankathete von Winkel Beta.

Für die Größen am rechtwinkligen Dreieck gelten folgende Beziehungen und Rechenvorschriften!

Wenn x ein spitzer Winkel des rechtwinkligen Dreiecks ist:

Zwei der Größen einer dieser obigen Gleichungen müssen bekannt sein,
um die dritte Größe in dieser Gleichung zu berechnen!

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Satz des Pythagoras

In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Seite gegenüber dem rechten Winkel die längste Seite des Dreiecks.
Sie wird Hypotenuse genannt.
Die beiden kürzeren Seiten nennt man Katheten, sie sind die Schenkel des rechten Winkels.

Auch in den anderen Lagen bleibt diese Relation erhalten! Der rechte Winkel bestimmt die Funktion der Seiten!

Der griechische Mathematiker und Philosoph Pythagoras von Samos entdeckte einen fundamentalen Zusammenhang zwischen Hypothenuse und den Katheten. Bis heute ist dies eine der wichtigsten Erkenntnisse der Mathematik!

Wir im obigen Video zu sehen ist, füllen die beiden Quadrate der Katheten (a , b )
zusammen das Quadrat der Hypotenuse (c) .

Man schreibt:

a² + b ²= c²

Der berühmte Satz des Pythagoras!

Die Summe der Quadrate der Katheten ist gleich dem Quadrat der Hypotenuse!

Dieser Zusammenhang ermöglicht uns bei 2 bekannten Seiten
eines rechtwinkligen Dreiecks die Berechnung der 3. Seite!

Beweis des Satzes des Pythagoras!

Beispiel: Berechnung einer Hypotenuse!

Beispiel: Berechnung einer Kathete!

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Der Begriff Prozent

Sicherlich hast du es schon einmal gesehen das „Prozentzeichen“ (%).

Auf Verkehrsschildern, beim Einkaufen, der Auswertung von Wahlen zum Bundestag und natürlich im LADEBALKEN deines Handys kann man es finden.

ladebalken
rabatt
gefaelle
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Prozent stammt vom lateinischen „per cent“ und bedeutet so viel wie „von Hundert“.

Man schreibt:

1 % = \( \frac{1}{100} = 0,01 \)

Im Prinzip kann man alle Größen in 100 gleiche Teile aufteilen. Ob 200€ oder 4km oder gar 80.000.000 Einwohner Deutschlands.

100prozentkasten_eur
100prozentkasten_4km
100prozentkasten_dtl
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Das 100%-Kästchen stellt jedes einzelne Prozent übersichtlich dar.

Das 10er Kästchen ist auch ein guter Helfer. Allerdings eignet es sich nur zur Darstellung der 10%, 20%, 30% usw..
Oder hast du eine Idee, wie es noch einzusetzen wäre?

Auch im 20er Kästchen können Prozentanteile gut dargestellt werden. Hier zählt jedes Kästchen genau 5% , da die 100% auf 20 Kästchen aufgeteilt werden und 100% : 20 = 5%.

Weitere Varianten…

Übungen dazu …

0_Darstellung_ProzentanteilenHerunterladen
2_AB-Prozent1_umw_anteileHerunterladen
1_Alles-sehr-bequem_2Herunterladen

Hier solltest Du auch das Kürzen und Erweitern von Brüchen beherrschen, um Brüche immer wieder in Hundertstel-Brüche umwandeln zu können, aus denen sich dann die Prozentzahlen ergeben!

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Monte-Carlo Methode

Um das Jahr 1940 beschäftigte sich nach einer Idee von Enrico Fermi Stanislaw Ulam mit der Darstellung und Berechnung von „Verhalten von Elementarteilchen in Bewegung“. Unter Mitarbeit von Nicholas Metropolis und dem „Superhirn“ John von Neumann arbeitete man an einem Geheimprojekt zur Entwicklung der Atombombe während des 2. Weltkrieges. Es wurde ein geheimer Name für das Projekt gesucht. Di e Spielsucht eines Onkels eines Mitarbeiters verhalf hier zum Namen in Anspielung auf die „Glücksspielhochburg Monaco“.

Für uns blieb als Ergebnis aus dem Projekt die Möglichkeit in einer schier endlosen Wiederholung kleiner Experimente Mittelwerte zu bestimmen, die sich zur Berechnung von komplexen Aufgaben eigneten. So konnte die Fläche einer unregelmäßigen Figur „prozentual“ sehr genau ermittelt werden.

Das Verhältnis dieser Fläche zum umgebenden Rechteck lässt sich prozentual ermitteln.

Am Beispiel der Kreisfläche konnte \( Pi \) sehr exakt bestimmt werden.

Variante 2:

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