Die Zahlenbereiche

Zuerst lernen wir zählen!
Nicht sofort mit Null beginnend aber fortlaufend zählten wir stolz … 1, 2, 3, 4, 5, 6 und so weiter.

Dass zwischen den Zahlen „Lücken“ bestehen, ist uns anfangs nicht bewusst. Schnell merkt man jedoch bei der Angabe von Geld oder Zeiten, Weiten und Höhen im Sport, dass da noch mehr sein muss.

Ein Wechselgeld von 3,07€ oder unsere Höchstleistung beim Weitsprung mit 2,47m zeigen das.

Zur Unterscheidung der Zahlenarten kann man sich die Zahlen als Mengen vorstellen.

So enthält die Menge aller natürlichen Zahlen( \(\Bbb N \) ) die Null als kleinste Zahl und alle folgenden Zahlen mit dem jeweiligen Abstand Eins voneinander.
( \(\Bbb N \) )={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9…}
Die Null – und alle anderen natürlichen Zahlen – gehört allerdings auch zu den gebrochenen Zahlen ( \(\Bbb Q + \) ), also den positiven Brüchen. Das Mengendiagramm zeigt dieses Verhältnis. Zahlenmengen werden oft als Ellipsen veranschaulicht.

Hier kennt man, dass die natürlichen Zahlen \(\Bbb N \) alle auch in der Menge der positiven gebrochenen Zahlen \(\Bbb Q_+ \) zu finden sind!

Man schreibt:
\(\Bbb N \) < \(\Bbb Q + \) oder besser \(\Bbb N \subset \Bbb Q + \)

Da es gebrochene Zahlen( \( \frac{3}{4} \) oder 0,72 ) gibt, die keine natürlichen Zahlen sind, muss die Menger der gebrochenen Zahlen größer sein, als die Menge der natürlichen Zahlen.

Die Menge der natürlichen Zahlen ist eine Teilmenge der gebrochenen Zahlen \(\Bbb N \subset \Bbb Q + \)

Weitere Zahlenbereiche sind beispielsweise die rationalen Zahlen \(\Bbb Q \), die ganzen Zahlen ( \(\Bbb Z \) ) und die reellen Zahlen ( \(\Bbb R \) ).

Eine gute Übersicht dazu findest du hier.

Und hier noch als Video …

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Gleichungen

Begriff: „Gleichung“

Zwei Terme, die durch ein Gleichheitszeichen verbunden sind, nennt man Gleichung. Diese können eine oder mehrere Variablen enthalten. Werte für die Variablen, die die Gleichung in eine wahre Aussage überführen, nennt man Lösung der Gleichung. Die Lösungen werden als Lösungsmenge L={Lösung} angegeben. Gleichungen können mehrere Lösungen haben.

Arten von Gleichungen:

Gleichungen werden nach der höchsten Potenz ihrer Variablen unterschieden. So heißen Gleichungen „linear“, wenn als höchste Potenz das x enthalten ist. Gleichungen heißen quadratisch, wenn sie x² als höchste Potenz enthalten, „kubisch“ nennt man sie mit x³.

3x + 4 = 4(x – 9) eine lineare Gleichung mit der höchsten Potenz x als Variable – auch Gleichung 1. Grades genannt

3x² + 7x – 1 = 4 eine quadratische Gleichung – auch Gleichung 2. Grades genannt

5x³ + 125 = x² – 7 eine kubische Gleichung – auch Gleichung 3. Grades genannt

Allgemein gilt also:

Eine Gleichung, die \( x^n \) als höchste Potenz ihrer Variablen enthält, nennt man Gleichung „n-ten Grades„.

Lösung einer Gleichung:

Gleichungen zu lösen bedeutet, den Wert für die Variablen zu finden, bei dem die beiden Terme links und rechts des Gleichheitszeichens den gleichen Termwert besitzen.

Methode 1: Probieren!

Durch spontanes oder systematisches Einsetzen von Werten für die Variable, ist es möglich auf die Lösung der Gleichung zu stoßen. Ein sehr zeitaufwendiges Verfahren, das nur für einfache Gleichungen zu empfehlen ist.

Beispiel:

2x + 1 = 7

Einsetzen von x =12 * (1) + 1 = 33 \( \neq \) 7x= 1 ist nicht Lösung!
Einsetzen von x= 22 * (2) + 1 = 55 \( \neq \) 7x= 2 ist nicht Lösung!
Einsetzen von x= 3 2 * (3) + 1 = 77 = 7x= 3 ist Lösung!

Methode 2: Isolieren der Variable

Umstellen der Gleichung in die Form „x=“ durch die Anwendung der Äquivalenzumformungen.

Anmerkung! Hier werden nur lineare Gleichungen gelöst!

Äquivalenzumformungen sind:

  • Addieren oder Subtrahieren von Zahlen oder Termen auf beiden Seiten der Gleichung
  • Multiplizieren oder Dividieren von/mit Zahlen oder Termen auf beiden Seiten der Gleichung
  • Quadrieren/potenzieren oder radizieren von beiden Seiten der Gleichung
  • Seiten vertauschen (beispielsweise, wenn mehr x „hinten“ stehen… 4x… = 9x… )

Beispiel1:

2x + 1 = 7

2x+1 =7|-1Subtrahiere auf beiden Seiten 1
2x+1 -1 =7 – 1 Vereinfache!
2x =6|: 2Teile beide Seiten durch 2
\( \frac{2x}{2} \)=\( \frac{6}{2} \)Vereinfache!
x=33 ist Lösung!
L={3}

Beispiel 2:

4x – 3 = 9x + 22

4x – 3 =9x + 22|-1Addiere auf beiden Seiten 3
4x – 3 +3 =9x + 22 +3 Vereinfache!
4x =9x + 25|: -9xSubtrahiere 9x auf beiden Seiten
4x – 9x =9x + 25 – 9xVereinfache!
-5x=25|:(-5)Teile beide Seiten durch (-5)
\( \frac{-5x}{-5} \)=\( \frac{25}{-5} \)
x=-5-5 ist Lösung! Negative Lösung!
L={-5}

Hier sieht man, wieder wie der 1. Befehl dafür sorgt, dass die -3 „verschwindet“, genau so passiert es mit dem 9x. Durch diese Schrittfolge erreicht man es, dass die Termteile mit der Variable „links stehen“ und die Konstanten (einfache Zahlen) auf der rechten Seite erscheinen.

Strategie für das Lösen von linearen Gleichungen:

  1. Fasse die Terme beider Seiten so weit wie möglich zusammen!
  2. Addiere oder subtrahiere geschickt so, dass die „Termteile mit Variable“ (4x , – 7x …) auf der linken Seite stehen!
  3. Addiere oder subtrahiere geschickt so, dass die Konstanten ( Zahlen: 14 , – 9 oder 3,7) auf der rechten Seite stehen!
  4. Nun sollte die Gleichung die Form 12x = 27 haben.
  5. Dividiere beide Seiten durch die Zahl vor der Variable! ( 12x = 27 | :12 )
  6. Notiere die Lösung! (x=…)

Hier ein paar Beispiele zum Vertiefen!
Achtung! Herr Mathe im Video ist manchmal etwas schnell und inkonsequent…

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